1.1.1正弦定理(公开课)

1.1.1正弦定理1.问题的引入:(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1CsinsinsinabcABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导1.1.1正弦定理sinbcB(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABC1.1.1正弦定理sin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?ABCBACbca1.1.1正弦定理DCcBbAasinsinsin　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即1.1.1正弦定理解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程含三角形的三边及三内角,由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征:从上面的讨论和探究，我们得到下面的定理。例1在⊿ABC中，A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形。);(1.800.32sin8.81sin9.42sinsincmABab解根据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°.根据正弦定理，).(1.740.32sin2.66sin9.42sinsincmACac根据正弦定理，3.定理的应用举例1.1.1正弦定理例1在已知,解三角形.ABC0032.0,81.8,42.9ABacm通过例题你发现了什么一般性结论吗?小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。1.1.1正弦定理变式：若将a=42.9cm改为c=42.9cm，结果如何？例2在⊿ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形。(角度精确到1°，边长精确到1cm)由我们学过的全等三角形的知识，上面的条件能确定一个三角形吗？1.1.1正弦定理baBACaB解根据正弦定理，;8999.02040sin28sinsinaAbB因为0°＜B＜180°,所以B≈64°,或B≈116°.(1)当B≈64°时，(2)当B≈116°时，,76)6440(180)(180BAC).(3040sin76sin20sinsincmACac,24)11640(180)(180BAC).(1340sin24sin20sinsincmACac1.1.1正弦定理例2在中，已知，解三角形。(角度精确到,边长精确到1cm)ABC20,28,40abA011.1.1正弦定理小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。4.基础练习题1.1.1正弦定理在ΔABC中，（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，则a＝____，（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，则B＝____，（3）已知c＝2，A＝45°，a＝，则B＝_____________.2√63√230°75°或15°(4)在ΔABC中，已知，解三角形ABC。:sin2sin453sin2233120cBCb解由正弦定理得且0C180C=60或C=60)7523sin75331sin453C当时A=180-(60+45bsinAa=sinB120)1523sin15331sin453?当C=时A=180-(45+120bsinAa=sinB为什么会出现两解呢5.探究课题引入时问题(2)的解决方法ABCbc1.1.1正弦定理bsinβAB=sin(α+β)•正弦定理•主要应用sinsinsinabcABC(1)已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）1.1.1正弦定理小结:课后探究:sinsinsinabckABC那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有关的量来表示吗?作业：P102(3)课本例2中,对于任意给定a,b,A的值,是否必能确定一个三角形?a和b的值对解有什么影响?（1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？（2）谢谢光临指导