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第九讲工程问题1基本公式:工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率2解题关键:这类题一般不给出总量,所以要把工作总量看做单位“1”,那么工效=1/时间3用分数解工程问题的方法:把工作总量看作单位“1”。分别找出各自的工作效率和合作工作效率。根据“工程总量÷工作效率和=合作的时间”列式解答。4基本题型普通合作问题、交替工作问题、功效变化问题、方程组型问题、水池注水问题熟记基本公式,把工作总量看作单位1例1、一项工作,甲独做12天完成,乙独做20天完成。①甲乙合做1天完成全工程的几分之几?②甲乙合做3天完成全工程的几分之几?还剩几分之几没完成?③甲乙合做几天可完成全工程?④甲乙合做几天完成全工程的一半?⑤甲乙合做5天后,余下的再由乙单独完成,还需几天?⑥甲先做2天后,余下的乙也参加同做,还需几天完成?答案:①2/15②2/53/5③15/2④15/4⑤20/3⑥75/12解析:①甲乙合做1天完成全工程的1/12+1/20=2/15②甲乙合做3天完成全工程的2/15×3=2/5还剩1-2/5=3/5③1÷2/15=15/2④1/2÷2/15=15/4⑤甲乙合做5天完成2/15×5=2/3还剩1-2/3=1/3乙单独完成,还需1/3÷1/20=20/3⑥甲先做2天完成1/12×2=1/6还剩1-1/6=5/65/6÷2/15=75/12例2、一堆沙子,甲车运完要6小时,乙车运完要8小时,丙车运完要9小时。①甲、乙、丙三车合运1小时,可以运走这堆沙子的几分之几?②甲、乙、丙同时合运几小时可运完?③甲、乙、丙合运几小时,还剩这堆沙子的2/3?④甲、乙同时合运3小时后,丙也参加,还需几小时运完?答案:①29/72②72/29③24/29④9/29解析:①甲车的工作效率为1/6,乙车的工作效率为1/8,丙车的工作效率为1/9.甲、乙、丙三车合运1小时,可以运走这堆沙子的1/6+1/8+1/9=29/72②1÷29/72=72/29③1/3÷29/72=24/29④甲、乙同时合运3小时后完成(1/6+1/8)×3=7/8,1-7/8=1/81/8÷29/72=9/29例3、一件工作,甲单独做12小时完成,乙单独做9小时可以完成。如果按照甲先乙后的顺序,每人每次1小时轮流进行,完成这件工作需要几小时?答案:31/3解析:设这件工作为“1”,则甲、乙的工作效率分别是1/12和1/9。按照甲先乙后的顺序,每人每次1小时轮流进行,甲、乙各工作1小时,完成这件工作的7/36,甲、乙这样轮流进行了5次,即10小时后,完成了工作的35/36,还剩下这件工作的1/36,剩下的工作由甲来完成,还需要1/3小时,因此完成这件工作需要31/3小时。例4甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天,一队完成甲工程需要12天。二队完成乙工程需要15天;在雨天,一队的工作效率要下降40%,二队的工作效率要下降10%。结果两队同时完成这两项工程,那么在施工的日子里,雨天有多少天?答案:10解析:晴天,一队完成甲工程的工作效率为1/12,二队完成乙工程的工作效率为1/15,雨天,一队完成甲工程的工作效率为1/12×60%=1/20,二队完成乙工程的工作效率为1/15×90%=3/50设雨天x天,(1-1/20x)÷1/12=(1-3/50x)÷1/15x=10例5一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?答案:甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元。乙组单独做费用最少解析:(1)设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,依题意得:解得答:甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元。(2)单独请甲组做,需付款300×12=3600元,单独请乙组做,需付款24×140=3360元,故请乙组单独做费用最少。答:请乙组单独做费用最少。例6一个游泳池,甲管放满水需6小时,甲、乙两管同时放水,放满需4小时。如果只用乙管放水,则放满需多少小时?答案:12小时解析:设游泳池放满水的工作量为1,甲管放满水需6小时,则甲每小时完成工作量的1/6甲、乙两管同时放水,放满需4小时,则甲乙共同注水,每小时可注游泳池的1/4,则乙每小时注水的量为1/4-1/6=1/12,则如果只用乙管放水,则放满需12小时。另法:甲乙同时放水需要4小时=甲4乙4=甲6则乙=0.5甲,需要12小时。A1、修一条路,甲队独修要12天,乙队独修要15天。①两队合修,多少天可以完成?②甲队先修4天后,剩下的由乙队来修,还要多少天才能修完?③两队合修5天后,剩下的由甲队来修,还要多少天才能修完?答案:①20/3②10③3解析:①甲乙合修一天完成1/12+1/15=3/201÷3/20=20/3②甲队先修4天后完成1/12×4=1/3,还剩1-1/3=2/3,2/3÷1/15=10③两队合修5天后完成3/20×5=3/4,还剩1-3/4=1/4,1/4÷1/12=32、一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成。现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成,乙还需要做几天可以完成全部工作?答案:4解析:甲的工作效率为1/9,乙的工作效率为1/6.甲先做了3天完成1/9×3=1/3,还剩1-1/3=2/3.2/3÷1/6=43一件工程,甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后,余下的工程由乙独做又用8天正好做完。这件工程如果由甲单独做,需要几天完成?答案:12解析:甲、乙合作2天,甲2乙2,剩下应该是甲4乙4=乙8.则甲=乙,所以甲单独完成需要甲6+乙6=12天。4、加工一批零件,单独1人做,甲要10天完成,乙要15天完成,丙要12天完成。如果先由甲、乙两人合做5天后,剩下的由丙1人做,还要几天完成?答案:2解析:甲的工作效率1/10,乙的工作效率1/15,丙工作效率1/12.甲、乙两人合做5天后完成(1/10+1/15)×5=5/6.还剩1-5/6=1/6,丙还需做1/6÷1/12=2天5.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,若水池没水,同时打开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满还是要多少小时?答案:5解析:1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率9/80×5=45/80表示5小时后进水量1-45/80=35/80表示还要的进水量35/80÷(9/80-1/10)=35表示还要35小时注满答:5小时后还要35小时就能将水池注满。B6一件工程,甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后,余下的工程由乙独做又用8天正好做完。这件工程如果由甲单独做,需要几天完成?答案:12解析:甲、乙合作2天,甲2乙2,剩下应该是甲4乙4=乙8.则甲=乙,所以甲单独完成需要12天。7、一项工作,甲、乙两人合作8天完成,乙、丙两人合作9天完成,丙、甲两人合作18天完成。那么丙一个人来做,完成这项工作需要多少天?答案:48解析:甲、乙两人合作一天完成1/8,乙、丙两人合作一天完成1/9,丙、甲两人合作一天完成1/18,甲-丙=1/8-1/9=1/72,甲+丙=1/18,丙的工作效率=(1/18-1/72)÷2=1/48,完成这项工作需要1÷1/48=48天8有一条公路,甲队独修需10天,乙队独修需12天,丙队独修需15天,现在让三个队合修,但中间甲队撤出去到另外工地,结果用了6天才把这条公路修完。当甲队撤出后,乙、丙两队一同合修了多少天才完成?答案:34/15解析:甲的工作效率=1/10,乙的工作效率=1/12,,丙的工作效率=1/15设当甲队撤出后,乙、丙两队一同合修了x天才完成.(1/10+1/12+1/15)(6-x)+(1/12+1/15)x=1x=34/159一件工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙两人合作6天可以完成,丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成?答案:24解析:总量为1,工作效率甲+乙=1/8,乙+丙=1/6,丙+丁=1/12,则甲+丁=1/8-1/6+1/12=1/24甲、丁两人合作1÷1/24=24天可以完成10抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的51。如果三人合抄,只需8天就完成了,那么乙一人单独抄,需要多少天才能完成?答案:6解析:工作总量为1,依题意,工作效率甲=乙+丙①,丙=(甲+乙)×1/5②,甲+乙+丙=1/8③,①代入②得,乙=2丙④,①代入③得,乙+丙=1/4⑤。由④⑤得乙=1/6,乙一人单独抄,需要1÷1/6=6天才能完成。11一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。现在三人合打,但甲因中途另有任务提前撤出,结果用12小时全部完成。那么,甲只打了几小时?答案:2解析:设打这份稿件的总工作量是“1”,则甲、乙、丙三人的工作效率分别1/20、1/24和1/30。在甲中途撤出前后,其实乙、丙二人始终在打这份稿件,乙、丙12小时打了这份稿件的9/10,还剩下稿件的1/10,这就是甲打的。所以,甲只打了2小时。C12铺设一条自来水管道,甲队单独铺设8天可以完成,而乙队每天可铺设50米。如果甲、乙两队同时铺设,4天可以完成全长的2/3,这条管道全长是多少米?A1000米B1100米C1200米D1300米答案:C解析:设乙需要X天完成这项工程,依题意可列方程(1/8+1/X)×4=2/3解得X=24也即乙每天可完成总工程的1/24,也即50米,所以管道总长为1200米。所以,正确答案为C。另法:甲4天完成1/2,乙4天完成200米=1/6,全长1200米。13.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来电了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟?答案:40分钟。解析:设停电了x分钟根据题意列方程1-1/120*x=(1-1/60*x)*2解得x=4014.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独做这项工程要多少天完成?答案:8.5解析:由题意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5=1(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率,最后结束必须如上所示,否则第二种做法就不比第一种多0.5天)1/甲=1/乙+1/甲×0.5(因为前面的工作量都相等)得到1/甲=1/乙×2又因为1/乙=1/17所以1/甲=2/17,甲等于17÷2=8.5天15.修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要30天完成。如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少,那么两队要合作几天?答案:10解析:由题意得,甲的工效为1/20,乙的工效为1/30,甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。又因为,要求“两队合作的天数尽可能少”,所以应该让做的快的甲多做,16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。设合作时间为x天,则甲独做时间为(16-x)天1/20*(16-x)+7/100*x=1x=10答:甲乙最短合作10天16一个水池有两个排水管甲和乙,一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管,2
本文标题:小五数学第9讲:工程问题(教师版)
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