吉林大学 陈殿友--线性代数(第4章)

第四章向量组的线性相关性§1n维向量一、n维向量的概念定义1n个有次序的数所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为第i个分量。12,,,naaaia列向量＝12naaaα行向量12,,,Tnaaa零向量负向量12,,,Tnaaa0,0,,0T0二、n维向量的运算定义2设n维向量1)2）3)其中k是数量。12,,,Tnaaa12,,,Tnbbb,(1,2,,);TTiiabin当且仅当1122(,,,);TTnnababab12(,,,).Tnkkakaka注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算。三、n维向量的运算律设α，β，γ为n维向量，k、l为实数，0为零向量。1)α+β=β+α2)α+β+γ=α+(β+γ)3)α+0=α4)α+(–α)=05)1·α=α6)k(lα)=(kl)α7)k(α+β)=kα+kβ8)(k+l)α=kα+lα四、n维向量的实际意义我们称n维向量的全体所组成的集合为n维向量空间。n维向量有着广泛的实际意义。例如为确定飞机的状态，需要6个参数（够成6维向量）。表示飞机重心在空间的位置需3个参数，还有3个参数是:1212(,,,),,,|nnnRxxxxxxxR1)机身的水平转角θ（0≤θ2π）；2)机身的仰角φ（–）；223)机翼（以机身为轴）的转角Ψ（－πΨ≤π）。例1计算设α＝,β=求1）2）3α－β。解α+2β;3α－β＝α+2β＝10111011021101202101211130110310130413§2向量组的线性相关性一、向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如一个m×n矩阵A有n个m维列向量它们组成的向量组α1,α2,…,αn称为矩阵A的列向量组。12,(1,2,,)jjjmjaajnam×n矩阵A又有m个n维行向量αiT=(ai1,ai2,…,ain),(i=1,2,…m)它们组成的行向量组α1T,α2T,…,αmT称为矩阵A的行向量组。反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。例如：m个n维列向量所组成的向量组α1,α2,…,αm构成一个n×m矩阵A=(α1,α2,…,αm);m个n维行向量所组成向量组β1T,β2T,…,βmT构成一个m×n矩阵B=。12TTTm我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形式Ax=b,而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方程组也可以写成向量的形式x1α1+x2α2+…+xnαn=b,由此可见，线性方程组与其增广矩阵B＝（A,b）的列向量组α1，α2，…，αm,b之间也有一一对应的关系。二、线性组合定义3给定向量组A:α1,α2,…,αm,对于任何一组实数k1,k2,…,km,向量k1α1+k2α2+…+kmαm称为向量组A的一个线性组合,k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数。线性表示给定向量组A:α1,α2,…,αm和向量b,如果存在一组数λ1,λ2,…,λm,使b=λ1α1+λ2α2+…+λmαm则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组x1α1+x2α2+…+xmαm=b有解。由上章的定理3，即可得到定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)的秩等于矩阵B=(α1,α2,…,αm,b)的秩。三、等价向量组定义4设有两个向量组A:α1,α2,…,αm及B:b1,b2,…,bs,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A=(α1,α2,…,αm)和B=(b1,b2,…,bs),B组能由A组线性表示，即对B组的每个向量bj(j=1,2,…,s)存在数k1j,k2j,…,kmj,使bj=k1jα1+k2jα2+…+kmjαm=(α1,α2,…,αm)12jjmjkkk从而(b1,b2,…,bs)=(α1,α2,…,αm)111212122212.ssmmmskkkkkkkkk这里，矩阵Km×s=(kij)称为这一线性表示的系数矩阵。由此可知，若Cm×n=Am×sBs×n,则矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩(c1,c2,…,cn)=(α1,α2,…,αs)111212122212;nnsssnbbbbbbbbb同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一表示的系数矩阵：1111121212222212.TTsTTsTTmmmsmsaaaaaaaaa综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变成矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即B的行向量组能由A的行向量线性表示。由于初等变换可逆，则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而A的行向量组也能由B的行向量组线性表示。于是A的行向量组与B的行向量组等价。同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B，则A的列向量组与B的列向量组等价。等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组。四、向量组的线性相关性定义5给定向量组A:α1,α2,…,αm,如果存在不全为零的数k1，k2，...，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。1）一个向量α线性相关的充分必要条件是α＝0。2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。4）一个向量α是线性无关的充分必要条件是α≠0。5）两个向量线性无关的充分必要条件是它们对应的分量不成比例。例1判断下列向量组的线性相关性。1)α1T=(1,1,1),α2T=(0,2,5),α3T=(1,3,6)2)β1T=(1,0,0,),β2T=(1,2,1),β3T=(1,0,1)解1）设有x1,x2,x3使x1α1T+x2α2T+x3α3T=0（1）即(x1+x3,x1+2x2+3x3,x1+5x2+6x3)=(0,0,0)亦即由于所以，方程组有非零解，即存在不全为零的x1,x2,x3使（1）成立。故向量组α1T,α2T,α3T是线性相关的。1011230156131231230230560xxxxxxxx2）设有x1,x2,x3使x1β1T+x2β2T+x3β3T=0（2）即由于1110200011所以，方程组仅有零解。即只有当x1,x2,x3全为零时（2）成立。故向量组β1T,β2T,β3T是线性无关的。1232230200xxxxxx五、线性相关性基本定理定理2向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的m-1个向量线性表示。证充分性,不妨设αm可由其余的向量线性表示，即有αm=λ1α1+λ2α2+…+λm-1αm-1从而λ1α1+λ2α2+…+λm-1αm-1+(-1)αm=0因为λ1，λ2，…，λm-1,-1这m个数不全为零,故α1，α2，…，αm线性相关。必要性设α1，α2，…，αm线性相关，即有不全为0的数k1,k2,…,km使k1α1+k2α2+…+kmαm=0不妨设k1≠0，从而有32123111mmkkkkkk即α1能由其余的m-1个向量线性表示。例2设αT=(a1,a2,…,an),e1T=(1,0,…,0),e2T=(0,1,…,0),…,enT=(0,0,…,1),讨论向量组的线性相关性。解显然由定理2知，向量组αT,e1T,e2T,…,enT线性相关。αT=a1e1T+a2e2T+…+anenT定理3设α1,α2,…,αm线性无关，而α1，α2，…，αm，β线性相关，则β能由α1，α2，…，αm线性表示，且表示式是唯一的。证因α1，α2，…，αm，β线性相关，故有k1,…,km,km+1不全为0，使k1α1+…+kmαm+km+1β=0要证β能由α1,α2,…,αm线性表示，知须证明km+1≠0。用反证法，假设km+1=0,则k1,k2,…,km不全为0，且有k1α1+k2α2+…+kmαm=0这与α1，α2，…，αm线性无关矛盾，此矛盾说明km+1≠0。从而有1212111mmmmmkkkkkk再证表示式的唯一性。设有两个表示式β=λ1α1+λ2α2+…+λmαmβ=k1α1+k2α2+…+kmαm两式相减，得（λ1－k1)α1+(λ2－k2)α2+…+(λm－km)αm=0因α1,α2,…,αm线性无关，所以λi－ki=0即λi=ki(i=1,2,…,m)。故表示式是唯一的。§3线性相关性的判定一、方程组↔矩阵↔向量组的关系11112211211222121122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb即Ax=b(2)x1α1+x2α2+…+xnαn=b(3)显然，由（3）式知，若b能由α1,α2,…,αn线性表示，则线性方程组（1）有解，若b不能由α1,α2,…,αn线性表示，则线性方程组（1）无解；当b=0时，（3）式变为x1α1+x2α2+…+xnαn=0（4）显然，由（4）知，若α1,α2,…,αn线性相关，则它所对应的齐次线性方程组Ax=0有非零解，若α1,α2,…,αn线性无关，则Ax=0仅有零解。综上所述，向量b能不能由向量组α1,α2,…,αn线性表示，则说明它所对应的非齐次的线性方程组Ax=b有没有解的问题；向量组α1,α2,…,αn的线性相关性，则说明它所对应的齐次线性方程组Ax=0有什么样的解的问题。将A按列分块，由（2）得例如向量组显然，β＝3α1+2α2+0α3，所以线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β即12313123592637xxxxxxx有解。12313592,0,1,63107向量组由于α1，α2，β线性无关，所以β不能由α1，α2线性表示，即线性方程组x1α1+x2α2=β亦即121123110xxxxx无解。121311,0,1110又如向量组1231392,0,6317显然，α1，α2，α3线性相关，且α3＝3α1+2α2所以，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=0有非零解。向量组显然，α1，α2，α3线性无关，所以齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α=0仅有零解。1231311,0,1.110二、线性相关性的判定定理4向量组α1，α2，…，αm线性相关的充分必要条件是它所构成矩阵A=(α1，α2，…，αm)的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)