结构力学典型例题分析 力法

llqEIAB例题4—1图【分析】●几何组成分析：图a结构有两个多余联系，为2次超静定结构。●基本体系确定：需要解除两个多余联系才能变成静定结构，也即得到力法的基本体系。在将超静定结构变成静定结构时，一般来说先去掉支座处的多余约束，后去掉结点处的多余约束，去掉约束后要加上对应的约束力，以保证力状态的等价性。图b~图h都是基本体系。图i、图j由于解除了必要联系，得到的不是静定结构，是几何可变体系，因此图i、图j不能作为力法的基本体系。●特别注意：在去掉约束时，必要约束是绝对不能去掉的，因为当去掉必要约束时将得到几何可变体系，几何可变体系无法计算内力或位移，也就不能作为力法的基本体系。●由于刚架结构的杆件上有无穷个刚结点，因此力法基本体系也有无穷多个。(a)(b)(c)(d)(e)【例题4-1】图示结构试选择不同的力法基本体系。CDEIEIqEIABCDEIEIqEIABCDEIEIqEIABCDEIEI(f)qEIABCDEIEIqEIABCDEIEIqEIABCDEIEI(g)qEIABCDEIEI(i)qEIABCDEIEIqEIABCEIEID(h)(j)常变体系1X2X1X2X2X1X1X2X2X1X1X1X1X1X2X2X2X1X1X1X2X2X原结构1基本体系2基本体系5基本体系4基本体系3基本体系6基本体系7基本体系瞬变体系2结构力法典型例题分析qEIAPM图2ql1M图llB例题4—2图c~e【解】由第1种基本体系（图b）有：010P1111XEIlEIyAEIyAEIAydsEIMM6723554401111EIqlEIyAyAEIyAEIAydsEIMM23243322110P1P179111P1qlX由P11MXMM作最终弯矩图如图(e)示。第2种基本体系只需计算3个面积，第3种需计算4个面积，位移计算都比第1种情况简单。为进行比较，读者自己完成2、3种基本体系的计算。【分析】●几何组成分析：为1次超静定结构。●确定基本体系：去掉1个多余约束，加多余力得到基本体系；为比较不同基本体系的计算工作量，本题选取三种体系。●列力法方程：三种基本体系的力法方程形式完全相同。●作荷载、单位力弯矩图：作三种基本体系的MP图，前两种体系的1M图；计算分段的面积。●求系数、自由项（位移）：将分段面积与形心对应弯矩代入图乘法公式，求得单位力产生位移与荷载产生位移。本题仅求基本体系1情况；其他两种情况分段面积少，使计算量小且容易求面积。●技巧：选取基本体系时宜取荷载弯矩图较简单的情况。(a)(b)(c)(d)M图【例题4-2】用力法计算图示结构，并作M图。312AqlC2EI21.5qlllqEIABC2EI3254Aql3312Aql242Al25Al2yl35yyl1423yyl12yyl227ql28ql28ql(e)1X11X(j)qEIABC2EIPM图20.5qlll1M图qEIABC2EI(f)(g)(h)(i)20.5qlPM图313Aql22Al232Al323yl2314ql316Aql324Aql11X1X1X11X111M图例题4—2图f~k(k)原结构1基本体系2基本体系3基本体系第4章力法3llqEIAPM图20.5ql1M图lllB例题4—3图【解】010P1111XEIlEIyAyAEIAydsEIMM34333220111110P1P4113AyMMdsEIEIAyqlEIEI1P1110.25Xql由P11MXMM作最终弯矩图。【分析】●几何组成分析：该结构有一个多余联系，为1次超静定结构。●确定基本体系：去掉一个多余约束，加多余力得到基本体系。注意：本题结构D处的水平链杆支座不能当作多余约束去掉。●列力法方程：基本体系与原体系等价，满足位移协调条件，列力法方程。●作弯矩图：为计算位移，作荷载弯矩图、单位力产生的弯矩图。计算位移所需要的虚拟单位力图不需要重新作，可以利用单位弯矩图代替。●计算位移：利用位移计算公式和图乘法，分别求单位力产生的位移与荷载产生的位移。●解力法方程求多余力X1。●作最终弯矩图：利用基本结构的荷载弯矩图和单位力弯矩图，根据叠加原理求出杆端弯矩，用简支梁法作每个杆段弯矩图。(a)(b)(c)(d)(e)20.25qlM图【例题4-3】用力法计算图示结构，并作M图。313AqlCDABCDABCD222Aql1yl223ly3ylEIEIEIEIEIq20.25ql11X1X28ql23Aql基本体系原结构4结构力法典型例题分析llqEIPM图1M图B例题4—4图【解】002100P2222121P1212111XXXXEIlEIyAEIAydsEIMM622201111EIlEIyAEIyAdsEIMM2244332222EIlEIyAdsEIMM122522112210110P1P1EIyAEIAydsEIMMEIqlEIyAdsEIMM24361P2P221q22lX22q11lX由P2211MXMXMM作最终弯矩图。【分析】●几何组成分析：该结构有两个多余联系，为2次超静定结构。●确定基本体系：为使位移计算简单，尽可能使承受弯矩的杆件少，去掉合适的多余约束，选取基本体系如图b所示。●列力法方程：原体系要解除多余约束处的位移（或相对位移）为零，力法典型方程的右端项为零。●作弯矩图：为计算位移，作荷载产生弯矩图（图c）、单位力产生弯矩图（图d、e）。●计算位移：利用图乘法，将分段面积和形心对应弯矩值标在弯矩图上（图c、d、e），代入公式求系数和自由项。●解力法方程求多余力X1、X2。●作最终弯矩图：根据叠加原理求出杆端弯矩，用简支梁法作每个杆段弯矩图。(a)(b)(c)(d)(e)M图【例题4-4】用力法计算图示结构，并作M图。28qlCDABCDABCDEI2EIEIEIq2EI2M图1(f)111X11X2X21X3112Aql0.52Al30.5Al40.5Al01y223y323y423y60.5y513y211ql222ql28ql原结构基本体系第4章力法5llqEIPM图1M图B例题4—5图a~e【解】010P1111XEIlEIyAEIyAEIAydsEIMM22333220111110P1P411216AyMMdsEIEIAyqlEIEI1q8lX由P11MXMM作最终弯矩图。【分析】●几何组成分析：该结构有1个多余联系，为1次超静定排架结构。●确定基本体系：将水平杆件(二力杆)切断暴露轴向多余力，基本体系如图b所示。●列力法方程：原结构要解除多余约束处的相对位移为零，力法方程右端项为零。●作弯矩图：水平杆件切断后不能传递任何力，左右两半结构的弯矩图单独求解。●计算位移：计算分段面积和形心对应弯矩值，并标在弯矩图上（图c、d）。●解力法方程求多余力X1。●作最终弯矩图：利用叠加法作每个杆段弯矩图。●注意：本题也可以取图f、g所示的静定结构作为基本体系，计算工作量一样，CD杆件无变形对位移没有影响。A、B支座的竖向约束为必要联系，不能作为多余约束解除。(a)(b)(c)(d)(e)M图【例题4-5】用力法计算图示结构，并作M图。CDEA2EI(f)1X11X223yl28qlAqEIBCD2EIA1Xll20.5ql316Aql20.52Al134yl323yl20.53Al28ql238qlqBCDA1XqBCDA1X(g)例题4—5图f~g原结构基本体系2基本体系3基本体系6结构力法典型例题分析llEIPM图1M图B例题4—6图【解】0211，kX0P22221211P1212111XXkXXXEIlEIyAEIAydsEIMM334402222EIlEIyAEIyAdsEIMM34333221111EIlEIyAdsEIMM22314211221EIlFEIyAEIyAdsEIMM343P5231P1P1EIlFEIyAdsEIMM23P64P2P2P1719FXP21819FX由P2211MXMXMM作最终弯矩图。【分析】●组成分析：该结构有两个多余联系。●基本体系：去掉B处链杆支座和弹性支座的多余约束，基本体系如图b所示。●列力法方程：原体系弹性支座反力为X1，使原体系B处弹簧产生向下位移，位移方向与X1向反，第一个力法方程的右端项为负值（大小由胡克定律确定）。另一个多余力对应原体系支座位移为零，右端项亦为零。●作弯矩图：为计算位移，作荷载产生弯矩图（图c）、单位力产生弯矩图（图d、e）。●计算位移：利用图乘法，将分段面积和形心对应弯矩值标在弯矩图上（图c、d、e），代入公式求系数和自由项。●解力法方程求多余力X1、X2。●作最终弯矩图：根据叠加原理求出杆端弯矩，用简支梁法作每个杆段弯矩图。●思考：若弹性支座处的多余约束不解除，将如何计算？(a)(b)(c)(d)(e)M图【例题4-6】用力法计算图示结构（其中弹簧刚度为k），并作M图。CAEI2M图(f)1X11X2X21X230.5Al323yl423yl3EIlkPFEIBCAEIPFlllllP=10.5AFl22Al2=40.5Al1yl2ylPFPFPFlP=5yFlP=6yFlP619FlP1219Fl原结构基本体系第4章力法7llN1F图B例题4—7图【解】位移条件：01力法方程：0P1111X求系数和自由项：)12(42441N1N11EAlEAlEAllEAFF)12(2222PPPNP1NP1EAlFEAlFEAlFlEAFF代入方程求解：2P11P11FX由NP11NNFXFF作最终轴力图。【分析】●几何组成分析：该桁架结构有一个多余联系，为1次超静定桁架。●确定基本体系：为使位移计算简单，基本体系在外荷载作用下使零内力杆件多些。切断水平杆，基本体系如图b所示。●列力法方程：原体系在解除多余约束处的相对位移为零，因此基本体系在外荷载与多余力共同作用下切断截面的相对位移也应该等于零，即力法典型方程的右端项为零。●作轴力图：作荷载产生轴力图（图c）、单位力产生的轴力图（图d）。●计算系数和自由项：系数和自由项都是位移，位移计算时轴力自带正负号，桁架杆件要利用实际杆长。●作最终轴力图：根据叠加原理求出各杆轴力。(a)(b)(c)(d)(e)【例题4-7】用力法计算图示结构，并作轴力图。已知：EA=常数。CDA(f)1XPFBCDAPF1XPFPFPF0000PFP2FNPF图11X+1+1+1+122+1CDAP0.5FP0.5FP0.5FP0.5FP22FP22FNF图B原结构基本体系8结构力法典型例题分析llN1F图B例题4—8图【解】位移条件：01力法方程：0P1111X求系数和自由项：221N11136214222433FMdslEIEAllllEIEAEANNP1P11P422(223)(48273)2424FFMMdslEIEAqlqlqlEIEAEA代入方程求解：1P1110.78Xql由NP11NNFXFF作最终轴力图。由11PMMXM利用简支梁法作最终弯矩图。【分析】●几何组成分析：该组合结构有一个多余联系。●确定基本体系：为使位移计算简单，选择在外荷载作用下弯矩图简单的基本体系。解除F水平链杆