北师大版八年级上解直角三角形的应用

解直角三角形的应用东洞学区唐军中考专题复习一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念：1仰角、俯角；2方向角；3坡角、坡度；4水平距离、垂直距离等。再依据题意画出示意图，根据条件求解。二、解实际问题常用的两种思维方法：（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与其他特殊图形的组合；（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。D15°例1要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=，∴tan30°=.在此图基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值。请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值。33331BCAC解：延长CB至D，使BD=AB，连结AD，则∠D=15°，tan15°=。32DCACACB1230°DExx132332例2如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米．要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建____阶（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算；取1.732）．3ACB30°解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∴BC=AC·tan30°=9×=3=5.196∴此阶梯的阶数=26（阶）。故填上26。2.0196.53339米AOFBC例3某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元h30米20米150°解：如图所示，作出此三角形的高h。则S△=×AC×BD×sin（180°－150°）=×30×20×=150（平方米）∴购买这种草皮至少需要150a元。故选（C）。212121ABCD例4在生活中需测量一些球（如足球、篮球••••••）的直径.某校研究性学习小组，通过实验发现下面测量方法：如图将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径，若测得AB的长为41.5cm，ABC=37°.请你计算出球的直径.(精确到1cm,可用数据:sin37°=0.6,cos37°=0.8).DEFACB37°G解：过A作AGCB,垂足为G,则AG=EF.在RtABG中,∵sinB=,AG=AB•sinB=41.5•sin37°=41.50.6=24.925(cm),即EF25cm.答：球的直径约为25cm.ABAG例5为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°。问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？CDBE30°60°A73.13解：过点C作CEAB于E.在RtCBE中,tan30º=BE=CE•tan30º=在RtCAE中,tan60º=AE=CE•tan60º=AB=AE+EB=6.92(米）8(米）距离B点8米远的保护物不在危险区.333CEBECEAE34⑴若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。⑵轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去。为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数，）？北东DAB30°例6如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距台风中心20里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100里。106.313解题点拨：（1）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为t小时，此时，轮船在C处，台风中心到达E处（如图），则有AC2+AE2=EC2，显然，AC=20t里，AE=AB－BE=100－40t，EC=20，则（20t）2+（100－40t）2=(20)2，若可求出t，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=100－40t，EC=20，在Rt△AEC中，由勾股定理，得(20t)2+(100－40t)2=(20)2，整理，得t2－4t+3=0①∵△=（－4）2－4×1×3=40,∴途中会遇到台风。解①得，t1=1,t2=3∴最初遇到台风的时间为1小时。10101010ACEB北南西东解题点拨：⑵先求出台风抵达D港的时间t，因AD=60，则60t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。解：⑵设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心至M点。过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM。在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°∴DF=30，FA=30又FM=FA+AB－BM=130－40t，MD=20∴（30）2+（130－40t）2=(20)2整理，得4t2-26t+39=0解之，得∴台风抵达D港的时间为小时。∵轮船从A处用小时到达D港的速度为60÷≈25.5。∴为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时。341313t,41313t21310131341313413134DAMB30°北东10F例7如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，（1）假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？解题点拨（1）作AB⊥MN于B，求出AB，若AB≤100米，则受影响，若AB100米，则不受影响.MPQNAB30°160解（1）作AB⊥MN，B为垂足。在Rt△ABP中∵∠ABP=90°，∠APB=30°，AP=160米，∴AB=AP=80米∴点A到直线MN的距离小于100米。∴这所中学会受到噪声的影响。21MPQNACDB（2）如图，如果以点A为圆心，100米为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C、D，连结AC、AD，那么AC=AD=100（米）。根据勾股定理和垂径定理，CB=DB==60（米），∴CD=120（米）学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时=时=24秒。22801001150解题点拨（2）既然受影响，怎样求受影响的时间呢？因拖拉机速度已知，故应求学校在受噪声影响时拖拉机行驶的路程，即以A为圆心，100米为半径画圆A，则⊙A交MN于C、D两点，弦CD的长为所求的路程，用垂径定理可求CD。小结：1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模型转化为数学问题。2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其是对于一些非直角三角形图形，必须添加适当的辅助线，才能转化为直角三角形的问题来解决。作业：如图，有一位同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度，他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为15米。（1）试求旗杆AB的高度（精确到0.1米，）；（2）请你设计出一种更简便的估测方法。732.1330°CDBEA如图，客轮沿折线A—B—C，从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍。⑴选择：两船相遇之处E点（）（A）在线段AB上（B）在线段BC上⑵求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)ABCD祝同学们学习进步！再见！