7中科大力学教案-第三章非惯性参考系

杨维纮杨维纮§3.1相对运动通常，把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参考系，把相对观察者运动的参考系称为动参考系；把物体相对于动参考系的运动称为相对运动（相应的有相对速度和相对加速度），物体相对静参考系的运动称为绝对运动（相应的有绝对速度和绝对加速度）。动参考系相对静参考系的运动称为牵连运动（相应的有牵连速度和牵连加速度）。OxyzPO′x′y′z′)(tr)(tr′)(0trω系K系K′3.1.1动参考系作任意方式的平动注意：平动不一定是直线运动！0()()()ttt′=+rrr22()()()(),()dtdtdtttdtdtdt===rvrva2000002()()()(),()dtdtdtttdtdtdt===rvrva22()()()(),()dtdtdtttdtdtdt′′′′′===rvrva0()()()ttt′=+vvv0()()()ttt′=+aaa对静参考系K：对动参考系K/:于是，我们有：在K系中物体的运动满足牛顿定律：F=ma。但因a≠a/，在K/系看来物体的运动不满足牛顿定律，即F≠ma/。0()()()ttt′=+rrr00()()(),():tttt′=+vvvv牵连速度00()()(),():tttt′=+aaaa牵连加速度0mmm′==+Faaa0mm′−=Faam′+=iFfa这就是说，在非惯性系里，有：0mm′=−=−ifaFa其中虚拟力：称为平移惯性力，简称惯性力。真实力与惯性力的合力常称表现力，记为Feff，于是有：effm′=Faeff=−ifFF而虚拟力为表现力和真实力之差。1.等效原理如果电梯在重力场中自由下落，电梯内自由飘浮于空中的物体，好象处于无重力场的太空中一样。爱因斯坦指出，电梯向下的落体加速度恰好抵消了该处的重力场，电梯内的观察者无法断定电梯是静止于太空中还是在重力场中自由下落。上述概念就是等效原理，它是由爱因斯坦提出的著名假设。它告诉我们，究竟是均匀重力加速度g还是参考系的加速度a0=－g，这在局部范围内是无法加以区分的。一般情况下，要说出给定的力中有多少是重力，有多少是惯性力是不可能的。Principleofequivalence(1907年末)我当时正坐在专利局的椅子上,突然我有了一个想法,”如果一个人自由下落,他就不会感觉到自身的重量了.”我被震惊了。——爱因斯坦俄罗斯宇航员图林于北京时间23日上午8时57分从国际空间站上成功地将一个高尔夫球击入地球轨道.Itissupposedtoflyaroundtheearthfor48rounds;whereasonearthitcanflyfor100m.ApproximateInertialSystemManypeoplebelievedthestoryofthetowerofPisa.ButWignerthoughttheotherway,‘Galileofoundhislawnotbyexperimentingbutbysimple,plainthinking.’Galileoandfallingcannonballs.1856.天才的杰作OpusGenius物理直观，天才的想法更重要！爱因斯坦未作过空间飞行，甚至未玩过蹦极，凭借所谓的Gedankenexperiment,他得出了受力和加速度的等价关系，进而得出引力等价于空间弯曲的结论。这是人类历史上最伟大的实验成果，而且未花一分钱，未劳驾除他以外的任何人！和人一起降落的石头没有重量。只有爱因斯坦理解这个现象的“深层结构”。等价原理：加速度＝引力场；惯性质量＝引力质量高度创造性的一个标志是，精通所有技术细节到了这样一种地步，能飞越无关紧要的细节，径直看到问题的核心。内应力下的平衡态条件内应力下的平衡态条件有重力有重力情况下情况下一般是重力规定体系的对称性一般是重力规定体系的对称性无重力无重力情况下情况下表面张力、界面能等因素决定表面张力、界面能等因素决定系统的对称性系统的对称性非均匀重力非均匀重力情况下情况下非均匀重力、表面张力、界面能非均匀重力、表面张力、界面能等因素共同决定系统的对称性等因素共同决定系统的对称性3.1.2动参考系作任意方式的运动OxyzPO′x′y′z′)(tr)(tr′)(0trω系K系K′0()()()ttt′=+rrr()()()()txtytzt=++rijk()()()()txtytzt′′′′′′′=++rijkP点在K/系的坐标：0000()()()()txtytzt=++rijkP点在K系的坐标：O/点在K系的坐标、速度和加速度：2000002()()()(),()dtdtdtttdtdtdt===rvrva3.1.2动参考系作任意方式的运动除此之外，对坐标值（它们是标量）作用时与完全相同。定义：在静参考系K中对时间的微商称为绝对微商，符号：在动参考系K/中对时间的微商称为相对微商，符号：DtDdtd它们之间差别表现在对坐标系的坐标基矢作用时不同绝对微商视为变量，视为常量；,,′′′ijk,,ijk相对微商视为变量，视为常量；,,′′′ijk,,ijkDtDdtd3.1.2动参考系作任意方式的运动OxyzPO′x′y′z′)(tr)(tr′)(0trω系K系K′,DDDtDt==rvva,dddtdt′′′′==rvvaK系：K/系：,,DDDDtDtDt′′′′′′=×=×=×ijkωiωjωk3.1.2动参考系作任意方式的运动OxyzPO′x′y′z′)(tr)(tr′)(0trω系K系K′()()()xyzbtbtbt′′′′′′′=++bijk()xyzDDbbbDtDt′′′′′′′=++bijkyxzxyzDbDbDbDtDtDtDDDbbbDtDtDt′′′′′′=++′′′′′′+++ijkijkyxzxyzdbdbdbbbbdtdtdt′′′′′′′′′′′′=+++×+×+×ijkωiωjωk()()xyzxyzdbbbbbbdt′′′′′′′′′′′′=+++×++ijkωijkddt′′=+×bωbDdDtdt′′′=+×bbωb即：DdDtdt′′′=+×rrωrDdDtdt′′′=+×vvωv3.1.2动参考系作任意方式的运动1.相对于K/系静止的点，向心加速度0()()()ttt′=+rrr0000,,0DDDDtDtDt===rvωva0,0dddtdt′′′′====rvva0()fDDDtDt′===+rvvrr0DDDtDt′=+rr0DdDtdt′′=++×rrωr′=+×0vωrf′==+×0vvvωr即牵连速度：OxyzPO′x′y′z′)(tr)(tr′)(0trω系K系K′3.1.2动参考系作任意方式的运动1.相对于K/系静止的点，向心加速度f′==+×0vvvωr()fDDDtDt′===+×0vaavωr0DDDDtDtDt′′=+×+×vωrrω()ddt′′=+×+×0raωωr()′=+××0aωωr若K/系的原点相对于K系静止，即:000,0==va()f′==××aaωωr2()ω′′=⋅−ωωrr由于牵连加速度的方向为由P点垂直指向转轴方向，故称该加速度为向心加速度。惯性离心力()ceffm′=−=−××fFFωωr惯性离心力的特点：1.惯性离心力垂直于转轴，并指向离开转轴的方向；2.惯性离心力与物体质量成正比。（我们以后会看到，所有的惯性力都与质量成正比）3.1.2动参考系作任意方式的运动2.相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度0()()()ttt′=+rrr0000,,0DDDDtDtDt===rvωva即：OxyzPO′x′y′z′)(tr)(tr′)(0trω系K系K′,0dddtdt′′′′====rvva常量0()DDDtDt′==+rvrr0DdDtdt′′=++×rrωr′′=++×0vvωrf′′′=++×=+0vvvωrvv其中是牵连速度fv3.1.2动参考系作任意方式的运动OxyzPO′x′y′z′)(tr)(tr′)(0trω系K系K′2.相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度()DDDtDt′′==++×0vavvωr0DdDDdtDtDtDt′′′′=+×++×+×vvωrωvrω()ddt′′′′=++×+×+×0raaωvωωr2()′′=+×+××0aωvωωr0()f′=+××aaωωr令：2cor′=×aωvfcor=+aaa其中称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利（G.Coriolis）于1835年提出的。cora则得：2.相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利力OxyzPO′x′y′z′)(tr)(tr′)(0trω系K系K′若：fcor=+aaa在K/系看，为了能形式上使用牛顿定律，质点P点所受的表现力必须为零，故质点P除了受惯性离心力fc作用外，还受到另一力fcor作用：0()f在K系看，P点受到真实力F作用：′=+××aaωωr00=a2)mmm=′′=×+××Faωvω(ωr2corm′=−×fωvfcor称为科里奥利力。由科里奥利力的表达式可见，该力有三个特征：1.与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考系运动时才可能出现；2.与转动参考系的角速度的一次方成正比，而离心力与角速度的二次方成正比，故当参考系的转动角速度较小时，科里奥利力比离心力更重要；3.力的方向总是与相对速度垂直，放不会改变相对速度的大小；在地球的北半球，力沿地面的分量指向相对运动的右方，在地球的南半球，力沿地面的分量指向相对运动的左方。2corm′=−×fωv科里奥利力在地球上有以下的表现：1.地面上北半球河流冲刷右岸。火车对右轨的偏压较大。（在南半球则对左岸和左轨作用大。）科里奥利力在地球上有以下的表现：2.自由落体因受科里奥利力的作用，会向东偏斜。这可以用实验来演示，如图2.22，在旋转平台上装一个斜坡，让小球从斜坡的上方自由滚下，小球的运动将向旋转的前方偏斜，这就是落体偏东的演示。科里奥利力在地球上有以下的表现：3.在北半球的单摆由于受科里奥利力的作用，使摆球轨迹每次都向运动方向的右方偏斜，最后使摆平面沿顺时针方向转动，如图2.23。转动角速度为：1851年傅科（J.L.Foucault，1819~1868）在巴黎伟人祠用长67米的摆做了实验，摆的振动周期T=16.5秒，每摆动一次，摆面转动0.05o，经32小时，摆面转动一周，直接证明了地球在自转。θωsin−=Ω科里奥利力在地球上有以下的表现：4.天气图上高、低气压环流能长期存在。牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源牛顿力学是讨论物体的运动状态及其改变的，其描述脱离不开参考系。牛顿定律并不适用于所有的参考系，后人把牛顿定律适用的参考系叫做惯性参考系。然而，牛顿力学的理论框架本身并不能明确给出什么是惯性参考系。牛顿完全了解自己理论中存在的这一薄弱环节，他的解决办法是引入一个客观标准——绝对空间，用以判断各物体是处于静止、匀速运动，还是加速运动状态。牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源牛顿的“水桶实验”(a)开始时，桶旋转得很快，但水几乎静止不动。在粘滞力经过足够的时间使它旋转起来之前，水面是平的，完全与水桶转动前一样。(b)水和桶一起旋转，水面变成凹状的抛物面。(c)突然使桶停止旋转，但桶内的水还在转动，水面仍然保持凹状的抛物面。牛顿就此分析道，在(a)、(c)阶段里，水和桶都有相对运动，而前者水是平的，后者水面凹下；在(b)、(c)阶段里，无论水和桶有无相对运动，水面都是凹下的。牛顿由此得出结论：桶和水的相对运动不是水面凹下的原因，这个现象的根本原因是水在空间里绝对运动（即相对于牛顿的绝对空间的运动）的加速度。ErnstMach:einbedeutenderPhysikerundPhilosoph恩斯特.马赫：影响深远的物理学家和哲学家牛顿认为物体的惯性是绝对空间赋予的，而马赫则认为惯性是物体与宇宙间众星体相互作用的结果。绝对空间在哪里？马赫的思想对广义相对论的建立影响如此巨大，爱因斯坦于1918年前后使用了“马赫原理”的说法，以表达下列命题：时空的