17.1.1勾股定理

AB情景引入一：少走了几步？我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理”.它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。图1-1称为“赵爽弦图”，是由我国古代数学家赵爽在证明勾股定理时给出的作法.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会的会标，其图案正是“赵爽弦图”，它标志着中国古代的数学成就.图1-1图1-2二千多年前，希腊的数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”。情境引入二相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有什么发现？毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。ABC图1-3ABC图1-2169探究与猜想是不是所有的直角三角形的三边都满足这种关系呢?A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图2图3A、B、C面积关系491325sA+sB=sCABCC图乙SA+SB=SCSA+SB=SC图甲abcabc.猜想a、b、c之间的关系？a2+b2=c2命题１：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2caba2+b2=c2aaaabbbbccc用拼图法证明.a、b、c之间的关系证法一：cabcabcabcab∵(a+b)2=c2+4•ab/2a2+2ab+b2=c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为(a+b)2c2+4•ab/2abc弦图现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！证法二：cabcabcabcab=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为c24•+(b-a)22ab∵c2=4•+(b-a)22ab•1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。•1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。cbacba美国总统的证明证法三：aabbcc伽菲尔德证法:据我国古代数学著作《周髀算经》中记载,西周开国时期(约公元前1120年)我国有个叫商高的人对周公说:“勾广三,股修四,径隅五”.较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.勾股弦弦弦勾勾股股勾股弦较短的直角边叫做勾,中国古代把直角三角形中,阅读材料勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么222abc即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理！abc商高定理：商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作“商高定理”。商高定理就是勾股定理哦！例题已知直角三角形两直角边的长分别为a和b,斜边长为c•当a=12,b=5时，求c;•当a=3,c=4时，求b;•当c=10,b=9时，求a.CBA勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cba公式变形c2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a2acb22cab22b=c2-a2课堂练习1、求下图中字母所代表的正方形的面积。225400A81225B6251442、求出下列直角三角形中未知边的长度68x5x13解：（1）由勾股定理得：x2=36+64x2=100x2=62+82x=10∵x2+52=132∴x2=132-52x2=169-25x2=144x=12（2）由勾股定理得：ABCD7cm3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49练习：4、已知△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c(1)已知:a=1,b=2,求c;(2)已知:a=15,c=17,求b;(3)已知:c=34,a:b=8:15,求a,b.练习：已知直角△ABC中AC=4，BC=3，求AB的长。拓展11布置作业•必做题p24页第一题•选做题一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前有多高？