《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章弧度制和弧度制与角度制的

1.1.21.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算【学习要求】1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【学法指导】1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.填一填练一练研一研本课时栏目开关1.1.2填一填·知识要点、记下疑难点1．1弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作．2．弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．半径长弧度弧度正数负数0|α|＝lr填一填练一练研一研本课时栏目开关1.1.2填一填·知识要点、记下疑难点4．角度与弧度的互化：(1)角度转化为弧度：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈0.01745rad.(2)弧度转化为角度：2πrad＝；πrad＝；1rad＝180π°≈57.30°＝57°18′.2πππ180360°180°填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2探究点一弧度制问题11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0——π2r顺时针方向πr逆时针方向20πr顺时针方向πr180逆时针方向r逆时针方向2r顺时针方向）00°－π2－90°π180°－2π－360°π1801°1180π°－2－360π°填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，即.问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．答一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．α的弧度数的绝对值是lr|α|＝lr填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝π180rad1rad＝180π°2ππ360°180°填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．答半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝nπr180，扇形面积公式为S扇＝nπr2360.∵l2πr＝|α|2π，∴l＝|α|r.∵S扇S圆＝S扇πr2＝|α|2π，∴S扇＝12|α|r2.∴S扇＝12|α|r2＝12lr.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝扇形的面积S＝S＝＝απR180αRαπR236012αR212lR填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2探究点三利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．问题1利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴{α|α＝kπ，k∈Z}y轴{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}坐标轴{α|α＝kπ2，k∈Z}填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2问题2利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合Ⅰ{α|2kπα2kπ＋π2，k∈Z}Ⅱ{α|2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z}Ⅲ{α|2kπ＋πα2kπ＋3π2，k∈Z}Ⅳ{α|2kπ＋3π2α2kπ＋2π，k∈Z}填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2[典型例题]例1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．解先将112°30′化为112.5°，然后乘以π180rad，即可将112°30′化成弧度，－7π12乘以180°π即可化为角度．所以，(1)∵112°30′＝112.5°＝2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－7π12＝－7π12×180π°＝－105°.小结将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2跟踪训练1将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)8π5＝________度．答案(1)5π3(2)－π8(3)288填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2例2已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝lr＝40－2×1010rad＝2rad.所以当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.小结灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2跟踪训练2一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝12lR，得1＝12(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝lR＝21＝2，即扇形的圆心角为2rad.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2例3把下列各角化成2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°；(2)23π6；(3)－4.解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π22π－4π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．小结在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.1.2跟踪训练3将－1485°化为2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式是__________．解析∵－1485°＝－5×360°＋315°，∴－1485°可以表示为－10π＋7π4.－10π＋7π4填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.21．时针经过一小时，时针转过了()A.π6radB．－π6radC.π12radD．－π12rad解析时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad，故选B.B填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.22．若α＝－3，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵α＝－3rad＝－3×57°18′＝－171°54′，而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3为第三象限角．C填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.23．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4解析设扇形半径为r，中心角弧度数为α，则由题意得2r＋αr＝612αr2＝2，∴r＝1α＝4或r＝2α＝1.C填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.24．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．解析－114π＝－2π＋－34π＝2×(－1)π＋－34π.∴θ＝－34π.－34π填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.21．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝πrad”这一关系式．易知：度数×π180rad＝弧度数，弧度数×180π°＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.填一填练一练研一研本课时栏目开关