《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修1-2【配套备课资源】2.2.1

2.2.1（二）2.2.1综合法与分析法(二)【学习要求】加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．【学法指导】通过本节课的学习，比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高思维能力.本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.2.1（二）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件A本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.2.1（二）2．用P表示已知，Q表示要证的结论，则综合法的推理形式为()A．P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒QB．P⇐Q1→Q1⇐Q2→Q2⇐Q3→…→Qn⇐QC．Q⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒PD．Q⇐Q1→Q1⇐Q2→Q2⇐Q3→…→Qn⇐PA本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.2.1（二）3．已知p：ab0；q：ba＋ab≥2，则()A．p是q的充分而不必要条件B．p是q的必要而不充分条件C．p是q的充要条件D．p是q的既不充分也不必要条件C本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.2.1（二）4．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0D本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.2.1（二）5．给出下列命题：①ab0⇒ba1；②ab0⇒a－2b－2；③ab，cd，abcd≠0⇒acbd；④a·b≠0⇒|a＋b||a|＋|b|1；⑤ab0，cd0⇒adbc.其中，真命题的序号是________．①②⑤本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）题型一选择恰当的方法证明不等式例1设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I24S.证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I24S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c22ab＋2bc＋2ca.只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）再证明a2＋b2＋c22ab＋2bc＋2ca，只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca0，即a(a－b－c)＋b(b－c－a)＋c(c－b－a)0，只需证ab＋c，且bc＋a，且cb＋a，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S≤I24S.本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）小结本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：(1)a2≥0(a∈R)．(2)(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，(a＋b2)2≥ab，a2＋b2≥a＋b22.(3)若a，b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，特别地ba＋ab≥2.(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）跟踪训练1(1)已知：a，b，c都是正实数，且ab＋bc＋ca＝1.求证：a＋b＋c≥3.证明考虑待证的结论“a＋b＋c≥3”，因为a＋b＋c0，所以只需证明(a＋b＋c)2≥3，即a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.又ab＋bc＋ca＝1，所以只需证明a2＋b2＋c2≥1，即a2＋b2＋c2－1≥0.因为ab＋bc＋ca＝1，所以只需证明a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0，只需证明2a2＋2b2＋2c2－2(ab＋bc＋ca)≥0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0.由于任意实数的平方都非负，故上式成立．所以a＋b＋c≥3.本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）(2)已知a、b、c为互不相等的正数且abc＝1，求证：a＋b＋c1a＋1b＋1c.证明要证原不等式成立，即证a＋b＋cbc＋ac＋ab，也就是证明2a＋2b＋2c2bc＋2ac＋2ab.因为a、b、c为互不相等的正数且abc＝1，所以bc＋ac2abc2＝2c；ac＋ab2a2bc＝2a；ab＋bc2ab2c＝2b；相加得2a＋2b＋2c2bc＋2ac＋2ab.所以，原不等式成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）题型二选择恰当的方法证明等式例2已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.证明要证原式，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1，即只需证bc＋c2＋a2＋abab＋b2＋ac＋bc＝1，而由题意知A＋C＝2B，∴B＝π3，本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）∴b2＝a2＋c2－ac，∴bc＋c2＋a2＋abab＋b2＋ac＋bc＝bc＋c2＋a2＋abab＋a2＋c2－ac＋ac＋bc＝bc＋c2＋a2＋abab＋a2＋c2＋bc＝1，∴原等式成立，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）小结综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）跟踪训练2设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：ax＋cy＝2.证明由已知条件得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要证ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，只要证2ay＋2cx＝4xy.2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，由①②得4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）题型三选择恰当的方法证明空间图形的位置关系例3如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）小结综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）跟踪训练3如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.求证：(1)AF∥平面BDE；(2)CF⊥平面BDE.证明(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）(2)连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.本课时栏目开关试一试研一研研一研·题型解法、解题更高效2.2.1（二）1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．本课时栏目开关试一试研一研