人教A版数学(选修2-2)1-4《生活中的优化问题举例》课件

第一章导数及其应用§1.4生活中的优化问题举例课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引能利用导数解决生活中的优化问题.课前热身1.优化问题．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数求优化问题的步骤．(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．课堂互动探究剖析归纳触类旁通典例剖析【例1】横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的高和宽应是多少？【分析】首先将实际问题抽象为数学问题，找到强度与宽、高的数学关系．几何中的最值问题一【解】如图，设断面的宽为x，高为y.则当xy2取极大值时，横梁的强度最大．又y2＝d2－x2.∴f(x)＝xy2＝x(d2－x2)(0xd)．f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝d3，y＝63d.根据实际，当x趋近于0或d时，强度很小，因此fd3为强度的极大值，同时也是最大值．所以当宽为33d，高为63d时，横梁的强度最大．用料最省问题二【例2】要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？【分析】把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造价表示为r的函数．【解】由V＝πr2h，得h＝Vπr2，设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价为S(r)＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5aπr2＋4aVr.由S′(r)＝10aπr－4aVr2＝0，解得r＝32V5π，于是h＝Vπr2＝325V4π.由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点．∴当rh＝32V5π325V4π＝25时，储油罐的造价最省．规律技巧本题用半径r把高h表示出来，把实际问题转化为关于半径r的函数问题是关键.成本最低利润最大问题三【例3】甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t＝119200x4－1160x3＋15x.(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．【分析】根据全程运输成本＝每小时运输成本×运输总时间建立函数关系式，然后利用导数方法求最值．【解】(1)设全程运输成本为f(x)元，则f(x)＝(119200x4－1160x3＋15x)·400x＝148x3－52x2＋6000(0x≤100)．当x＝60千米/时，f(60)＝148×603－52×602＋6000＝1500(元)．答：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶时，全程运输成本为1500元．(2)f′(x)＝116x2－5x(0x≤100)，令f′(x)＝0，得x＝80.∴当x∈(0,80)时，f′(x)0，∴f(x)是减函数．当x∈(80,100]时，f′(x)0，∴f(x)是增函数．∴当x＝80千米/小时，f(x)取极小值．∵f(x)在(0,100]上只有一个极小值，∴f(80)是最小值．∴f(80)＝148×803－52×802＋6000＝20003(元)．答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本最小，最小值为20003元．规律技巧用导数求解实际问题中的最大小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依实际意义，该极值点就是最值点.随堂训练1.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为()A．10B．25C．15D．50解析如图所示，矩形长为10cosθ，宽为5sinθ，则矩形的面积S＝50sinθcosθ＝25sin2θ≤25，∴当θ＝45°时，矩形的面积有最大值25.答案B2．周长为20的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________．解析设矩形的一边长为x，则另一边长为10－x，则V＝πx2(10－x)＝π(10x2－x3)．令V′＝π(20x－3x2)＝0，得x＝203.x＝203为极大值点，也是最大值点，∴圆柱体积的最大值为π203210－203＝400027π.答案400027π3．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长40m，问靠墙的一面多长时，围成的场地面积最大？解设靠墙的一面长xm，围成的场地面积为ym2，此时矩形的宽为40－x20，∴y＝x·40－x2＝－12x2＋20x.(0x40)y′＝－x＋20.令y′＝0得，x＝20.当0x20时，y′0，当20x40时，y′0.∴x＝20时，y最大＝20×10＝200.答：靠墙的一面长20m时，围成的场地面积最大，为200m2.4．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，才使得所用材料最省？解设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S(R)＝2πRh＋2πR2，又V＝πR2h，则h＝VπR2，所以S(R)＝2πR·VπR2＋2πR2＝2VR＋2πR2，由S′(R)＝－2VR2＋4πR＝0，解得R＝3V2π，从而h＝VπR2＝23V2π，即h＝2R，当0R3V2π时，S′(R)0，当R3V2π时，S′(R)0.因此，当R＝3V2π时，S(R)有极小值，且是S(R)的最小值．答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．5．已知某工厂生产x件产品的成本为c＝2500＋200x＋14x2(元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解(1)设生产x件产品时，平均成本y最低．∴y＝cx＝2500x＋x4＋200.y′＝－2500x2＋14，令y′＝0，得x＝100.当0x100时，y′0，当x100时，y′0，∴x＝100时，y最小＝25＋25＋200＝250.答：生产100件产品时，平均成本最低为250元．(2)设总利润为W元．W＝500x－c＝500x－2500－200x－14x2＝－14x2＋300x－2500，∴W′＝－12x＋300.令W′＝0，得x＝600.当0x600时，W′0，当x600时W′0，∴x＝600时，W最大＝87500.答：要使利润最大，应生产600件．