2015高中数学选修2-2课件：1-4-生活中的优化问题举例

高考调研第一章导数及其应用第1页新课标A版·数学·选修2-2第一章导数及其应用高考调研第一章导数及其应用第2页新课标A版·数学·选修2-21．4生活中的优化问题举例高考调研高考调研第3页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2课时学案课后巩固课时作业高考调研高考调研第4页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2课时学案高考调研高考调研第5页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元与5a元．问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？题型一成本最低用料最省高考调研高考调研第6页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【思路分析】适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值．可确定点C的位置．高考调研高考调研第7页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】方法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则∵BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝BD2＋CD2＝x2＋402.又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0＜x＜50)．∴y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30.高考调研高考调研第8页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．方法二：设∠BCD＝θ，则BC＝40sinθ，CD＝40cotθ(0＜θ＜π2)．∴AC＝50－40cotθ.高考调研高考调研第9页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2设总的水管费用为f(θ)，依题意，有f(θ)＝3a(50－40cotθ)＋5a·40sinθ＝150a＋40a·5－3cosθsinθ.∴f′(θ)＝40a·5－3cosθ′sinθ－5－3cosθsinθ′sin2θ＝40a·3－5cosθsin2θ.令f′(θ)＝0，得cosθ＝35.高考调研高考调研第10页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2根据问题的实际意义，当cosθ＝35时，函数取最小值，此时sinθ＝45.∴cotθ＝34.∴AC＝50－40cotθ＝20(km)．即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．高考调研高考调研第11页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2探究1用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：①建立函数关系式y＝f(x)；②求导y′；③令y′＝0，求出相应的x0；④指出x＝x0处是最值点的理由；⑤对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．高考调研高考调研第12页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2思考题1(1)设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小?高考调研高考调研第13页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．由于V＝πr2h，得h＝Vπr2.所以y＝4mπr2＋2mVr(r＞0)．所以y′＝8mπr－2mVr2.令y′＝0，得r＝(V4π)13，此时h＝Vπr2＝4(V4π)13.高考调研高考调研第14页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在．当r＝(V4π)13时，y有最小值，即总造价最小．高考调研高考调研第15页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2(2)某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？【思路分析】解题时可利用几何特征，合理设元，同时要注意变量的范围．高考调研高考调研第16页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】要求材料最省就是要求新砌的墙壁的总长度最小，设场地宽为xm，则长为512xm，因此新墙总长度为L＝2x＋512x(x0)，∴L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝－16，或x＝16.∵x＞0，∴x＝16.在定义域内使L′＝0的x值只有x＝16.高考调研高考调研第17页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2∴当x＝16时，Lmin＝L|x＝16＝64m.即当堆料场的宽为16m，长为51216＝32m时，可使砌墙所用的材料最省．高考调研高考调研第18页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2例2已知某厂生产x件产品的成本为C＝25000＋200x＋140x2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？题型二利润最大高考调研高考调研第19页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】(1)设平均成本为y元，则y＝25000＋200x＋140x2x＝25000x＋200＋x40.y′＝(25000x＋200＋x40)′＝－25000x2＋140.令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)．当在x＝1000附近左侧时，y′＜0；高考调研高考调研第20页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2在x＝1000附近右侧时，y′＞0，故当x＝1000时，y取得极小值，由于函数只有一个点使y′＝0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2)利润函数为L＝500x－(25000＋200x＋x240)＝300x－25000－x240，L′＝(300x－25000－x240)′＝300－x20.高考调研高考调研第21页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2令L′＝0，解得x＝6000.当在x＝6000附近左侧时，L′＞0；在x＝6000附近右侧时，L′＜0.故当x＝6000时，L取得极大值．由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件产品．高考调研高考调研第22页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2思考题2(2010·山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件高考调研高考调研第23页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】因为y′＝－x2＋81，所以当x9时，y′0；当x∈(0,9)时，y′0，所以函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．【答案】C高考调研高考调研第24页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2例3在半径为R的半圆内，以直径为一底边作一个内接等腰梯形，问如何使其面积最大？最大面积是多少？【思路分析】在已知内接梯形底边的前提下，只需再确定其高，或上底边长，或底角，都可以确定梯形，因此变量可以有不同的选择．题型三面积、体积最大高考调研高考调研第25页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】方法一设上底长为2x，如图所示：连接OD，作DP⊥BC，则梯形的高DP＝R2－x2，记梯形的面积为S，则有S＝2R＋2x2·h＝(R＋x)R2－x2(0＜x＜R)．S′＝R2－x2－R＋x·xR2－x2＝R2－Rx－2x2R2－x2，高考调研高考调研第26页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2令S′＝0，得x＝R2(0＜x＜R)．由于函数在(0，R)内连续可导，且只有一个导数为0的点，问题中的面积的最大值显然存在，故当x＝R2时面积取得最大值，最大面积为Smax＝(R＋R2)R2－R22＝33R24.方法二由图可得，连接OD，设∠DOC＝θ，如图所示则梯形上底AD＝2Rcosθ，梯形面积S，高考调研高考调研第27页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2S＝12(2Rcosθ＋2R)Rsinθ＝R2(cosθ＋1)sinθ(0＜θ＜π2)，S′＝R2(2cos2θ＋cosθ－1)．令S′＝0，得θ＝π3(0＜θ＜π2)．由于函数在(0，π2)内连续可导，且只有一个导数为0的点，问题中面积的最大值显然存在．故当θ＝π3时面积取最大值，最大面积为高考调研高考调研第28页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2Smax＝R2(cosπ3＋1)sinπ3＝R2(12＋1)32＝334R2.高考调研高考调研第29页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2思考题3要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20厘米，要使体积为最大，则其高应为多少？高考调研高考调研第30页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】设圆锥底面半径为R，圆锥高为h.∴h2＋R2＝202,∴R＝400－h2.∴圆锥体积V＝13πR2·h＝高考调研高考调研第31页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-213π(400－h2)·h＝13π(400h－h3)．令V′＝13π(400－3h2)＝0，∵h＞0，∴解得h＝2033.当h＜2033时，V′＞0；当h＞2033时，V′＜0.∴当h＝2033时，V有最大值．答：其高应为2033cm，体积最大.高考调研高考调研第32页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2例4在平面坐标系内，通过一已知点P(1,4)引一直线，使它的两坐标轴上的截距都为正，且两截距之和为最小，求这条直线的方程．题型四距离最近高考调研高考调研第33页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】设这条直线方程为y－4＝k(x－1)，令x＝0，得y＝－k＋4；令y＝0，得x＝－4k＋1.由题意－k＋4＞0，－4k＋1＞0⇒k＜4，k＞4或k＜0⇒k＜0.两截距之和d＝－k＋4－4k＋1＝－k－4k＋5.令d′＝－1－4(－1k2)＝4－k2k2＝2＋k2－kk2＝0，高考调研高考调研第34页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2解得k1＝－2，k2＝2(舍去)．当k＜－2时，d′＜0；当k＞－2时，d′＞0.∴当k＝－2时，d有最小值．∴这条直线的方程为y－4＝－2(x－1)，即y＝－2x＋6.高考调研高考调研第35页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2思考题4求曲线y＝4－x2(x＞0)上与定点P(0,2)距离最近的点．高考调研高考调研第36页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2【解析】设曲线y＝4－x2(x＞0)上一点Q(x，y)，PQ的距离f(x)＝x－02＋y－22＝x2＋4－x2－22＝x4－3x2＋4.令h(x)＝x4－3x2＋4，∴令h′(x)＝4x3－6x＝2x(2x2－3)＝0.∵x＞0，∴解得x＝62.当0＜x＜62时，h′(x)＜0；当x＞62时，h′(x)＞0.高考调研高考调研第37页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2∴h(x)在x＝62时取最小值，此时f(x)也取最小值．此时y＝4－x2＝4－(62)2＝52，∴与P(0,2)最近的点为Q(62，52)．高考调研高考调研第38页第一章1.4新课标A版·数学·选修2-2例5某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？题型五热点问题高考调研