一线教师研究高考数学试题的六个视角

一线教师研究高考数学试题的六个视角【摘要】本文结合实例，提出了从“试题的命制意图、试题的解答思路、考生的失分因素、试题的源与流、试题的分类、试卷的评价分析”等六个方面研究高考试题的方法，对一线教师有具体的指导。【关键词】研究、高考试题，视角近几年的安徽数学高考过后，不少高三师生都有这样一种感慨：“考前两个多月学生做的、教师讲的数学模拟试卷一点用不上派场，似乎等于白做、白讲。”面对如此感慨，我想，作为一线教师肯定是心潮澎湃、思绪万千，到底是题目新、偏、难、怪、繁造成的，还是我们教学出现了问题而导致的学生思维能力的缺失？笔者认为要想弄清楚是“教学的原因”还是“题目的原因”，必须对历年高考试题作一认真的分析研究，看一看高考到底考什么？而我们教学中讲的是什么？学生练的是什么？并从中发现高考试题与我们平时教学的内容存在多大的差异，然后才能做到知彼知己，从而做到有的放矢。然而，当今高三教学普遍存在的问题是受备考资料的牵制，师生整天围绕资料转，一般而言，学生头一天做，做得头昏脑涨，教师第二天讲，讲得疲惫不堪，根本无暇顾及对高考试题的研究，所以高三备考中很多教师只顾拉车而不抬头看路，带有很大的盲目性，这样一来就容易造成备考偏离方向，收效甚微是情理之中的事。当然可能有的教师认为历年高考数学题考过了，今后不会再考，何必再研究呢？的确，原来考过的题再考的可能性不大，但我们不能因此原因而置之不理，而应该通过对试题的研究透视一下高考命题的理念、试题的难易程度、试题的导向性等，从而可使教师做到把握高考命题脉搏，有针对性地指导学生进行科学高效的备考，那么一线教师该怎样研究高考呢？笔者认为一线教师可以从以下六个视角进行着手。一、研究试题的命制意图由于高中数学涉及的知识点多，加之高考对考生的数学能力要求也高，然而受试题题量的限制，也就限制着高考命题者不可能面面俱到，必有某些知识点与能力不能得到考查，但总体来说，高中数学的主干知识及五大数学能力在试卷中都能得到充分体现，这样一来，要求命题专家必须对试题进行精心雕琢，不仅要关注知识点的覆盖，而且还要侧重能力立意，可以说，高考数学试卷中不论是客观题，还是解答题，题题都带有一定的考查目的性，这就要求我们教师对高考每道试题做到细细品味，揣摩透命题者命题的意图。笔者认为，高考试题命制的意图无外乎有五个方面：（一）是意在关注教材的。2013年我省理科第（3）题要求考生选出哪一个不是公理的，当然，试卷中的选择题、填空题与解答题的靠前的试题其实与教材中例习题的难度相当，也是意在考查学生对教材内容的熟悉程度，这就提醒教师在备考中要重视基础知识与通性通法，不可眼高手低。（二）是意在顺应课改的。如近年来我省新课改高考试卷中的解析几何大题，都是在有意回避“韦达定理”而命制的，这一命题特点显然是与新课程标准一致的。（三）是意在纠偏的。如2013年我省理科第（19）题的立体几何题，难度并不大，却难道了不少考生，为何？笔者认为此道题有意在回避了多年来以“向量法”为主的解决立体几何题的思维策略，以强化传统综合法处理立体几何问题的地位，着力去改变师生过去多年来重“向量法”轻“综合法“解决立体几何问题的教学极端倾向。因为在当前的立体几何教学中，困扰教师的一个主要问题是：由于空间向量的引入，给大家提供了一种解决立体几何问题的模式化方法，而忽视了立体几何的学科特点的渗透，，空间向量似乎解决了一部分学生对于立体几何学习的畏难心理，好像只要建立空间直角坐标系就可以解决所有立体几何问题，甚至有些老师主张在文科也讲空间向量。但是学生的立体几何思维的培养、推理论证的演绎能力的提高，如果得不到落实的话，就会妨碍学生的立体几何的学习，也会影响学生在高考中对于立体几何问题的解决，2013年的立体几何大题由于建立空间直角坐标系不方便，故“向量法”求解受阻，这也是考生感到难的根源。事实上，此题运用“综合法”求解并不困难，可以说，一个数学成绩平平的文科生可能就能解答好，而一个数学成绩不错的理科生可能解答不出来，这种现象不值得我们对教学作一反思吗？笔者认为，空间向量不是立体几何的全部，它只是解决立体几何问题的一个工具，要辩证地看待，不能将它神化，在立体几何的教学和复习时，充分揭示出这门几何学科的特点和思维方法，让学生感受到思维在解决立体几何问题中的重要到位。（四）是意在考查能力的。如试卷中的一些选择题及填空题，想投机取巧走不通，只有老老实实地“算”，才能获解，这说明命题者着意考查考生的运算求解能力；又如，“字母多”是2013年的解答题的一大亮点，如第（19）题的函数、不等式与导数交融而成的，此题的两问中都分别牵扯到四个字母，明显加大了考查学生形式运算的能力，而淡化具体运算能力的考查，弄得学生晕头转向，分不清主次，而感到困难；第（20）的零点判断时，由于平时训练的都是具体运算的问题，即将区间端点值代入函数关系式，直接就判断正负号，而此题第（1）问加大了形式运算的力度，仅代入函数关系式通过计算不能解决问题，还需要利用不等式的放缩法，本来学生对放缩法就发怵，这样一来，无形中就感到此题不易；第（21）题第（2）小题，由knkmknkmkCCCmXP)(入手，如果展开此式直接求其最大值，解题会陷入困境，而如果遵循从特殊到一般的思维方式，采取“先大胆猜想，再小心求证”的策略，即先考查此函数的单调性，探究出使)(mXP的整数m，然后再论证所得到的m值符合题意，显然这种处理方式是把直觉思维和逻辑思维有机结合起来，解题思路就豁然开朗，这就要求学生具备形式运算阶段的心智水平，可见，本题对学生的形式运算能力要求之高，令学生望题兴叹！由此可见，2013年高考题加大了对形式运算水平的考查力度，但当今的数学教学却往往仅重视具体运算能力的培养，而忽视了形式运算能力的培养，从而导致学生的形式运算能力较弱，这一现象应引起广大师生的关注！（五）是意在导向的。2013年数学科考过之后，网上关于考生的感受留言比较多，笔者发现“高三一年不知做了多少卷子多少题目，太辛苦了，这根本是毁灭性的，完全是白写了”这几句话出现的频率较高，可以说正是当今“题海战术”复习模式下考生心声的真实写照。的确，“题海战术”是高三复习常用的谋略，这种战术在以前有很大的市场，但在新课标下已完全失去优势，高考命题专家可以说个个讨厌“题海战术”，个个都是“反题海战术”的高手，纵观这几年的高考试卷，这种“反题海战术”的试题比比皆是，目标直指“题海战术”的症结所在.数学高考作为数学课程改革的一部分，理应发挥“素质教育”的强力导向,为了使数学教学早已摆脱“题海战术”的羁绊，安徽省2013年的理科数学命题加大了“反题海战术”的力度，今年的数学试题真正考查数学能力，使过分依赖题型记忆、复制模仿解数学题的考生少得分或不得分，使被动学习者、题海战术者在应试中力不从心，难有较大作为，故不少考生感觉题“难”，也就不足为怪了.二、研究试题的解答思路一般来说，高考试卷中的很多试题是不止一种解法的，有繁简之别，数学素养好的考生因为思维有深度，能透过现象看到本质，在面对同一道试题，能机智地选择出一种最佳的解决方案，而数学素养不高的考生，只能按部就班地解答，虽然也能解答出来，但费时费力，解题速度慢。例如，2012年理科第（7）题：若2521(2)(1)xx的展开式中4x的常数项是（）A、3B、2C、2D、3，此题中规中矩，常规方法是写出二项式521(1)x的展开式的通式求解，但较慢，如果使用“组合思想”处理就快速多了。又如，2011年安徽省理科第19题：（1）设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。证明错误!未找到引用源。;(2)设错误!未找到引用源。证明错误!未找到引用源。.此题当年难倒不少考生，究竟“难”在何处？对此，笔者针对其解法作了研究，得到了三种别解，并整理成文，撰写了《立足课改精神提高复习效益》一文，2012年发表在《中国数学教育》第1-2期上。当然，研究高考试题解法是大家的拿手好戏，人人都能做，但如果只停留就方法展示的层面上，意义不大，因为研究高考试题解法思路的目的是透视命题者命题的心路历程，不是为多解而多解，而是为了解决一类问题的求解方案，达到学一题会一类的目的，故我们在研究高考试题的多种解法思路之后，要进行对比归纳，提炼解题规律，使学生在今后当拿到此类问题时，能够快速形成解题方案。三、研究学生失误的原因高考中，对不少考生而言，一道本来会做的试题，可却得到错误的答案或不全面的答案，对此，考生往往归结为粗心所致，即因粗心而没看到应该看到的信息，考生之所以这样认为，笔者认为主要是因为考生在解答试题时思路也清楚，能一气呵成完成，但可能就是因某一个小细节未注意到，从而导致解题出现失误，故学生常常发出感叹：我怎么没有想到那一点呢？真太粗心了！笔者认为考生一时未能看到一些细微的信息点，不是粗心，而是因为未看到的信息点比较隐蔽，考生必须具有较强的理性思维才能看到，故粗心的背后在很大程度上是数学知识学得不透造成的，正所谓细微之处见真功。如2013年安徽高考理科第13题：已知直线ay交抛物线2xy于BA,两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为._____考后问到一些学生的解答如下：设),(2aaA，),(2aaB，),(200xxC，则),,(2200axaxAC).,(2200axaxBC因为BCAC，所以BCAC),(2200axax),(2200axax220ax2220)(ax02122040aaxax)(.令)(020ttx,则方程02122aatat)(在0t上有非负实数解(※).(1)若方程(※)有一非负一负解，则02aa，解得10a；若方程(※)有两个非负实数解，记aatattg2221)()(,则,)(,,)()(000120421222aagaaaa解得1a，由（1）、（2）知a的取值范围为.0a乍一看，这种解法无懈可击，怎么得到不是正确答案为1a呢？面对这困惑，我感到纳闷，于是请教了王主任，最后他看出了玄机所在，那就是“BCAC0BCAC”惹得祸，对此我们觉得这个错误认识相对普遍，意义非凡，顺势撰写了一篇论文《当心“零向量”捣乱-------2013年高考理科安徽卷第13题的错解分析及正解》，于2014年发表在《中学数学研究》第3期上，文中最后写道：解析几何的学习中，在处理遇到“直线与直线垂直”或“直角”问题时，为了方便解题，我们有时将“线线垂直”的问题转化为这两条直线的方向向量mur、nr的垂直问题，然后将“两条直线的方向向量mur、nr垂直问题”转化为“murnr0”，但因两条直线的方向向量不能为零向量，而murnr0成立不能保证mur、nr为非零向量，故将“线线垂直”的问题转化“这两条直线的方向向量mur、nr垂直，进而转化为murnr0”的过程中，极易发生错误，且不易被人觉察，关于这一点，应引起大家的警惕与重视，这也是笔者撰写此文的目的。四、研究常考问题的归类由于研究高考试题的目的就是为了捕捉命题规律，洞察命题动向，为今后备考复习指明方向，减少盲目性，提升实效性，为此要求教师在对每张试卷进行纵向研究的同时仍需要从横向对近年来的试题都要进行研究，看一看那类问题在试卷中时常出现？都是以什么形式呈现出来？考查到什么程度？学生对这类问题发怵吗？教学中如何分析得通俗易懂，让学生处理轻松掌握这类问题的办法？等等。例如，平面向量是年年高考的常考内容，但每年都有所变化，作为教师要善于从变化中找到不变的东西，以让学生看到高考对平面向量的考查到底考什么，备考时有东西可抓。为此笔者不甘寂寞，迎难而上，深入研究，通过对比观察几年来的试卷，分析发现不管平面向量题如何变化，概括起来无外乎有三种：基本型、交汇型、应用型，并将这总结出来的成果整理成文，写了《高考试题中平面向量的三种类型》一文于2005年发表在《高中数学教与学》上；再如，2007年抽象函数在高考卷出现频