第3章多维随机变量及其分布习题答案

1第3章多维随机变量及其分布习题参考答案3.1二维离散型随机变量习题答案1.解：1在有放回抽样情形下,XY的可能取值为0,0,0,1,1,01,1，则,XY的联合分布律为1110,05525PXY，1440,15525PXY4141,05525PXY，44161,15525PXY即,XY的联合分布律为：YX010112542542516252在不放回抽样的情形下,XY的可能取值为0,1,1,01,1，则,XY的联合分布律为1410,1545PXY，4111,0545PXY4331,1545PXY即,XY的联合分布律为：YX010101515352.解：1由,XY的联合分布律的性质：111ijijp可知20.070.180.150.080.201a，0.32a得(2)0,11,11,0PXYPXYPXYPXY0.070.080.320.473X的可能取值为0，1，则,XY关于X的边缘分布律为00.070.180.150.40p，10.080.320.200.60p即X01ip0.400.60Y的可能取值为1，0，1，则,XY关于Y的边缘分布律为10.070.080.15p，00.180.320.50p，10.150.200.35p即Y101jp0.150.500.354X与Y不独立.因为0,10.07010.400.150.06PXYPXPY，由定理3.1可知X与Y不独立.3.解：由题意知，2,0.2XB，2,0.5YB，则由X与Y独立可知,PXiYjPXiPYj22220.20.80.50.5iijjijCC，,0,1,2ij.即,XY的联合分布律为3YX0120120.160.320.160.080.160.080.010.020.014.解：关于X的边缘分布律为X12ip1313ab关于Y的边缘分布律为Y123jp1219a118b由X和Y相互独立，得1111,2129391111,31318318PXYPXPYaPXYPXPYb所以29a，19b.3.2二维连续型随机变量习题答案1.解：1由二维联合分布函数的性质得：,arctan02,arctan02,122FxABxCFyABCyFABC解三个方程得212ABC.42由二维联合密度函数的性质得：当,xy时,2,,Fxyfxyxy221111Axy222111xy.3关于X的边缘分布函数为,lim,XyFxFxFxy21arctan222x1arctan2x，x关于Y的边缘分布函数为21,lim,arctan222YxFyFyFxyy1arctan2y，y2.解：1由联合密度函数的规范性得：32001,xyfxydxdykedxdy，即32001xykedxedy，由定积分的知识得：16k，即6k2320,6xyxxyPXYfxydxdydxedy3206xyxedxedy50335xedx.3X与Y相互独立.关于X的边缘密度函数为3206,0,0,xyXedyxfxfxydy其他33,00,xex其他关于Y的边缘密度函数为532206,02,0,0,0,xyyYedxyeyfyfxydx其他其他因为,XYfxyfxfy对一切实数成立，所以X与Y相互独立.3.解：1由联合密度函数的规范性得：1,fxydxdy1220013Axxdxdy1220013AxxdxdyA,即1A.2关于X的边缘密度函数为,Xfxfxydy2201,0130,xxdyx其他212,0130,xxx其他2(3)2,xyPXYfxydxdy1212320001522333336xxxdxdyxxxdx(4),Yfyfxydx1201,0230,xxdxy其他1,0220,y其他因为,XYfxyfxfy对一切实数成立，所以X与Y相互独立.4.解：由题意知X与Y的密度函数分别为Xfx1,0220,x其他，Yfy22,00,yey其他1由于X与Y相互独立，则6,XYfxyfxfy2,02,00,yexy其他4222200013(2),1.24xyxyxePYXfxydxdydxedyedx422222003,2.4yyyyxePYXfxydxdyedydxeydy或3.6两个随机变量函数的分布习题答案1.解11Z为离散型随机变量，其可能的取值是2，1，0，1，2，则14221,120PZPXYPXY13111,020PZPXYPXY14001,11,120PZPXYPXYPXY16111,21,020PZPXYPXYPXY12221,120PZPXYPXY11331,220PZPXYPXY即1Z的分布律1ZXY2101231PZk42032042062022012022Z为离散型随机变量，其可能的取值是2，1，0，1，2，则2Z的分布律是26221,220PZPXYPXY724111,11,120PZPXYPXYPXY23001,01,020PZPXYPXYPXY26111,11,120PZPXYPXYPXY21221,220PZPXYPXY即2Z的分布律2ZXY210122PZk62042032062012033Z为离散型随机变量，其可能的取值是1，0，1，2，则341max,11,120PZPXYPXY330max,01,020PZPXYPXY311,11,11,01,1PZPXYPXYPXYPXY620372max,21,21,220PZPXYPXYPXY即3Z的分布律3Z10123PZk42032062072044Z为离散型随机变量，其可能的取值是1，0，1，则4Z的分布律是841min,11,11,0PZPXYPXYPXY171,11,21,120PXYPXYPXY40min,01,00PZPXYPXY431min,11,11,220PZPXYPXYPXY即4Z的分布律4Z114PZk17203202.1C2解：令ZXY，则Z的可能取值为2，0，2，则Z的分布律是1221,1114PZPXYPXYPXPY001,11,1PZPXYPXYPXY111112PXPYPXPY1221,1114PZPXYPXYPXPY即Z的分布律ZXY202PZk1412143.解：由题意知1X与2X的密度函数和分布函数分别为9Xfx1,010,x其他，XFx0,0,011,1xxxx则Y的分布函数为YFy1212max,,PYyPXXyPXyXy12212XXXPXyPXyFyFyFy则Y的密度函数为YYdFyfydy2XXfyFy2,010,yy其他则Z的分布函数为12min,ZFzPZzPXXz121min,PXXz121,PXzXz121PXzPXz12211111XXXFzFzFz则Z的密度函数为ZZdFzfzdz21XXfzFz21,010,zz其他4.解：由X和Y相互独立可知33()033zxtzxztZXYYYfzfxfzxdxefzxdxeftdt令1当0z时，0Zfz;2当0z时，33233003266(1).zzzttztzzZfzeedteedtee综上所述，Z的密度函数为Zfz236,00,zzeez其他第3章多维随机变量及其分布复习题答案101.解：1由X和Y相互独立可知,PXiYjPXiPYj，i1，2，3;0j，1，2.则X和Y的联合概率分布为YX012123112181241614112112181242313PXYPXY11,22,13,0PXYPXYPXY111951124412248.2.解：由二维联合概率分布律及其性质可知：0.40.11ab，即0.5ab00.4PXa，1PY0.1a10,1PXYPXY1,00.5PXYab则由随机事件{0}X与{1}XY相互独立可得：01PXXY1PY0.1a01PXPXY0.40.50.4aaba,即0.10.5(0.4),aa可得：0.2a，再有式得：0.3b.113.解：由题意可知,XY的可能取值为0,0，0,1，1,0，1,1，则,XY的联合分布律为0,0PXYPABP