哈工大集合论习题

第一章习题1.写出方程2210xx的根所构成的集合。2.下列命题中哪些是真的，哪些为假3设有n个集合12,,,nAAA且121nAAAA，试证：12nAAA4.设{,{}}S，试求2S？5.设S恰有n个元素，证明2S有2n个元素。6.设A、B是集合，证明:(\)()\ABBABBB7.设A、B是集合，试证ABAB8.设A、B、C是集合，证明：()()ABCABC9.设A、B、C为集合，证明\()(\)\ABCABC10.设A，B，C为集合，证明：()\(\)(\)ABCACBC11.设A,B,C为集合，证明：()\(\)(\)ABCACBC12.设A,B,C都是集合，若ABAC且ABBC，试证B=C。13.设A,B,C为集合，试证：(\)\(\)\(\)ABCABCB14.设XYZ，证明\(\)(\)ZYXXZY15.下列命题是否成立？（1）(\)\(\)ABCABC（2）(\)()\ABCABC（3）\()()\ABCABB16．下列命题哪个为真？a)对任何集合A,B,C，若ABBC，则A=C。b)设A,B,C为任何集合，若ABAC，则B=C。c)对任何集合A,B，222ABAB。d)对任何集合A,B，222ABAB。e)对任何集合A,B，\22\2ABAB。f)对任何集合A,B，222ABAB。17．设R,S,T是任何三个集合，试证：（1）()()STSTST；（2）()()()RSTRSRT；（3）()()()()()RSRTRSTRSRT；（4）()()()RSTRSRT18．设A为任一集，{}IB为任一集族（I），证明：()()IIABAB19．填空：设A,B是两个集合。(a)xAB__________________；(b)xAB__________________；(c)\xAB___________________；(d)xAB___________________；20．设A，B，C为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()ABC？（a）(\)(\)ABAC；（b）()\()ABAC（c）(\)(\)ABAC；（d）()\()ABAC（e）()()ABAC21.．设A,B,C为集合，并且ABAC，则下列断言哪个成立？（1）BC（2）ABAC（3）CCABAC（4）CCABAC〕22．设A,B,C为任意集合，化简()()()()()()()CCCCCCCCCABCABCABCABCABCABCABC23．证明：（1）()()CCABABAB；（2）()()()CCCABABAB；（3）()()()CCCABABAB24．设12,,MM和12,,NN是集合S的子集的两个序列，对,,1,2,ijij，有ijNN。令1111,(),2,3,nCnnkkQMQMMn。试证：1()nnniiiNQNM。25．设X是一个非空集合，1,,1,2,3,nnnAXAAn试证：n，有1()cnmmmmnmnAAAA。6．设V是任一集合，证明：,,2VSTW有STW当且仅且STSW且SW。27．设12,,AA为一集序列，记A为这样的元素的全体形成的集合：xA当且仅当在序列12,,AA中有无穷多项nA含有x。集合A称为集序列12,,AA的上极限，记为limnnA，即limnnAA。又记A为这样的元素全体形成的集合；序列12,,AA中只有有限项不含有这样的元素。称A为序列12,,AA的下极限，并记limnnAA。证明；（1）1limnknknnAA；（2）1limnknnknAA。28．证明：limlimnnnnAAlimlimnnnnAA。29．设{,,},{,,,},{,,}AabcBefghCxyz。求2,,,ABBAACAB。30．设A,B为集合，试证：A×B＝B×A的充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）A；（2）B；（3）AB。31．设A,B,C,D为任四个集合，证明：()()()()ABCDACBD32．设1234,,,EEEE为任意集合，试证：1234132124()\()((\))((\))EEEEEEEEEE33．设,AXBY，试证：()()()()CCCCCABABABAB34．设A,B,C为集合，证明：()()()ABCABAC35．设A,B为集合，下列命题哪些为真？（1）(,)xyABxA且yB（2）(,)xyABxA或yB（3）222ABAB（4）若ACBC，则AB。（5）若,ACBCC，则AB。36．设A有m个元素，B有n个元素，则A×B是多少个序对组成的？A×B有多少个不同的子集？37．设A,B为集合，B，试证：若A×B＝B×B，则A=B。38.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？39．求1到250之间不能被2，3，5，7中任一数整除的数的个数。40．设A,B是两个有限集，试求22?AB41．马大哈写n封信，n个信封，把n封信放入到n个信封中，求全部装错的概率是多少？42．毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过。同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也未能与所有的小伙子跳过舞。证明：在所有参加舞会的小伙与姑娘中，必可找到两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。第二章习题1.设A，B是有穷集，,AmBn（1）计算BA（2）从A到A有多少个双射？2.设X是一个有穷集合，证明：从X到X的部分映射共有(1)XX个。3..证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。4.证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。5.设:fXY，,CDY，证明11(\)()fCDfD6.设:,A,BXfXY，证明（1）()()()fABfAfB（2）()()()fABfAfB（3）()\()(\)fAfBfAB7.设:,,fXYAXBY。以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。（1）（a）若()()fxfA，则x未必在A中（b）若()()fxfA，则xA（c）若()()fxfA，则xA（d）若()()fxfA，则cxA（2）（a）1(())ffBB（b）1(())ffBB（c）1(())ffBB（d）1(())cffBB（3）（a）1(())ffAA（b）1(())ffAA（c）1(())ffAA（d）上面三个均不对（4）（a）()fA（b）()fB（c）若1,()yYfyx则（d）若1,()yYfyx则8.设:,,fXYAX则(())()ccfAfA成立吗？9.设X是一个无穷集合，:fXY。证明：存在X的一个真子集E使得()fEE。10.设:fAB，证明2BT，都有1(())()ffTTfA11..设{,,},{0,1},{2,3},:,()()0XabcYZfXYfafb，()1;:fcgY，(0)2,(1)3gg，试求gf。12.设1212345123454321532514，＝，求11122112,,,。13.将置换123456789791652348分解成对换的乘积。14.设是任一n次置换，试证：与1的奇偶性相同。第三章习题1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？3.设R，S是X上的二元关系，下列命题哪些成立：a)若R与S是自反的，则,RSRS分别也是自反的。b)若R与S是对称的，则,RSRS分别对称的c)若R与S是传递的，则RS也是传递的d)若R与S不是自反的，则RS也不是自反的e)若R与S是反自反的，则,RSRS也是反自反的f)若R是自反的，则cR也是反自反的。g)若R与S是传递的，则R\S是传递的答案：真真真假真真假4.设R、S是X上的二元关系。证明：（1）11()RR；（2）111()RSRS（3）111()RSRS；（4）若RS，则11RS5.设R是X上的二元关系，证明：1RR是对称的二元关系。6.有人说：“若R是X上的二元关系，只要R是对称的和传递的，则R必是自反的。”他的证明如下：若xRy，则由R的对称性便知有yRx。于是由xRy和yRx以及R的传递性即得xRx。所以，R是自反的。他的推论错在什么地方？这个结论是否对呢？7.“父子“关系的平方是什么关系？8.设X={1,2,3,4},R={(1,2),(2,2),(3,4)},S={(2,3),(3,1),(4,2)}试求：22,,,,(),()RSSRRSRSRRSR。9.设R与S为X上的任两个集合，下列命题哪些为真？a）若R,S都是自反的，则RS也是自反的。b）若R,S都是对称的，则RS也是对称的。c）若R,S都是反自反的，则RS也是反自反的。d）若R,S都是反对称的，则RS也是反对称的。e）若R,S都是传递的，则RS也是传递的。10.设R1是A到B，R2和R3是B到C的二元关系，则一般情况下1231213(\)()\()RRRRRRR。但有人声称等号成立，他的证明如下：设123(,)(\)acRRR，则bX，使得1(,)abR且23(,)\bcRR。于是2(,)bcR且3(,)bcR。从而12(,)acRR且13(,)bcRR，所以1213(,)()\()acRRRR，即1231213(\)()\()RRRRRRR。同理可证相反的包含关系成立，故等式成立，这个证明错在什么地方？11.设R，S是X上的满足RSSR的对称关系，证明RSSR.12.设R为X上的对称关系，证明：,nnNR是对称关系。13.设123,,,RRR是X上的二元关系的一个无穷序列，则当每个Ri是对称关系时，1iRi还是对称的吗？14.设R是X上的二元关系，试证（1）*******(),(2)(),(3),(4)()()RRRRRRRRRRRR。15.设X＝（a,b,c,d,e），R＝｛（a,b），（b,c），（c,d），（d,e）｝试求R和R。16.设R,S为X上的二元关系，试证：（1）()RSRS（2）()RSRS17.举例说明(())stR与(())tsR确定不相等。18.是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系的反对称闭包？为什么？19.是否存在X（X=n）上的一个二元关系R使得2,,,nRRR两两不相等。20.证明：若R是对称的，则R＋也是对称的。21.设12,RR是X上的二元关系，证明：（1）1212()()()rRRrRrR（2）1212()()()SRRsRsR（3）1212()()()tRRtRtR22.由置换1234567836581274确定了{1,2,,8}X上的一个关系:,,ijXij当且仅当i与j在的循环分解式中的同一循环置换中，证明：是X上的等价关系，求/X。23.给出X＝｛1，2，3，4｝上两个等价关系R与S，使得RS不是等价关系。24.设X是一个集合，Xn，试求：（1）X上自反二元关系的个数；（2