等比数列定义及性质

一、温故知新：1、等差数列定义：2、等差数列单调性：an－an－１=d(d为常数)d0单调递增d0单调递减d=0常数列dnaan)1(31：、等差数列的通项公式用什么方法推出的呢？1.对于数列(1),从第2项起,每一项与前一项的比都等于____2.对于数列(2),从第2项起,每一项与前一项的比都等于____3.对于数列(3),从第2项起,每一项与前一项的比都等于____1/2202观察以上数列各有什么特点：1,2,4,8,…(1)12,1,14,18,…(2)1，20，(3)202，203，…如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的_等于_一个常数，那么这个数列就叫做这个常数叫做等数列的_____1.等比数列定义：二比同公比等差数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示比(1)你能用数学式子表示等比数列的定义吗？（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？等差数列等比数列或an+1-an=d(n≥1)an–an-1=d(n≥2))2(1nqaann)1(1nqaann或非零的常数数列既是等差数列又是等比数列（2）公比q能等于0吗？等比数列由于等比数列的每一项都有可能作分母，故an≠0且q≠0等差数列由于等差数列是作差故an,d没有要求探究：（1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=-1(2),161,81,41,21是,公比q=21观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)1，0，1，0，…(6)0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列(７)1,,，，…2x3xx…等比数列的有关概念观察数列(1)2，4，8，16，32，64.(2)1，3，9，27，81，243，…(3)(4)(5)5，5，5，5，5，5，…(6)1，-1，1，-1，1，…以上6个数列的公比分别为…公比q=2递增数列公比q=3递增数列公比d=x公比q=1非零常数列公比q=-1摆动数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。)0(,,,,,1432xxxxx,161,81,41,21公比q=递减数列21等比数列中：1100(1)101naaaqq或递增1100(2)011naaaqq或递减(3)1nqa＝为常数列(4)1nqa为摆动数列叠乘法叠加法等比数列通项公式推导:等差数列通项公式推导:设公差为d的等差数列{an}，则有:a2－a1=da3－a2=da4－a3=d……an－an－1=d+)an－a1=(n－1)d(n≥2）等差数列{an}的首项为a1，公差为d的通项公式为________________an=a1+(n－1)d，n∈N+设公比为q的等比数列{an}，则有:___12aa___23aa___1nnaa…11nnqaa×)n－1个qqq首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式：an=a1qn－1(a1≠0且q≠0n∈N+)(n≥2）n－1个(1)2，4，8，16，…(2)2，2,4,4…22(4)5,5,5,5,…(3)1,,,,…214181an=2nan=212nan=1)21(nan=521nnaa21nnaa)21(1nnaa11nnaa练习:写出下列等比数列通项公式1.求下列各等比数列的通项公式：（1）8,231aa24213qqqaannnnnnaa)2()2)(2(22)2(11或解：nnaaa32,5)2(11解：111)23(5523nnnnaaaaq又：例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。解：设这个等比数列的第1项是1a,公比是q，那么把②的两边分别除以①的两边，得23q③,1221qa①1831qa②把③代入①，得3161a因此82331612qaa答：这个数列的第1项与第2项分别是316与8。1.由下面等比数列通项公式,求首项与公比.(口答)(1).(2)2.设成等比数列,其公比为2,则的值为多少.2nna1234,,,aaaa123422aaaa12,2aq152,10aq141410nna3．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x的值为（）（A）－4（B）－1（C）1或4（D）－1或－4A1在等比数列中a1+a2=3,a4+a5=24,求q和a1。解：由已知得：24)1(3)1(2433115421qqaqaaaaa211qa答：q和a1分别是2和1。11nnqaa等比数列的通项公式练习例题讲解:在等比数列中,;,3,27)1(74aqa求;,8,18)2(142qaaa与求若;,6,4)3(975aaa求.,6,15)4(32415aaaaa求na例4．在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。41解：依题意，a1=4，514a由等比数列通项公式得451116aqa所以12q因此插入的3个数依次是2，1，21或－2，1，－213、等比中项的定义：探究：类比等差数列，等差数列有等差中项公式，请你给出等比中项公式。等比数列等差数列如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。abGabG2即如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。2baA等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项符号相同。的等比中项与）求、（804513babccab求的等比中项，且与是）已知（,272603b练习：练习：求下列各组数的等比中项（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1（2）任何两数一定有等差中项。2、判断（1）若b2=ac，则b一定是a、c的等比中项。（3）任何两数一定有等比中项。若a，b异号则无等比中项；若a，b同号则有两个等比中项2.已知数列的前n项和为Sn=an-1(a为不为零的实数),则此数列()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或是等差数列或是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列CA３，Ｂ４，Ｃ５，Ｄ６1、在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为，则项数为（）893132B3.若数列{an}的前n项和为,那么这个数列的通项公式是()A.an=2×3n-1B.an=3×2nC.an=3n+3D.an=2×3n332nnSaD4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.－4B.－6C.－8D.－10B5.已知a,b,c成等比数列,a,x,b和b,y,c都成等差数列,且xy≠0,那么的值为()A.1B.2C.3D.4acxyB6.已知a1,a2,…,a8是各项为正数的等比数列,公比q≠1,则()A.a1+a8a4+a5B.a1+a8a4+a5C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定.A7.已知数列－1,a1,a2,－4成等差数列,－1,b1,b2,b3,－4成等比数列,则的值是.12212aab等比数列由于等比数列的每一项都有可能作分母，故a1≠0且q≠0等差数列由于等差数列是作差故a1d没有要求判断数列是等差数列的方法判断数列是等比数列的方法或an+1-an=d(n≥1)an–an-1=d(n≥2))2(1nqaann)1(1nqaann或、例3已知nanb是项数相同的等比数列，求证nnba是等比数列。证明：设数列na的首项为1a，公比为p；nb的首项为1b，公比为q，那么数列nnba的第n项与第n+1项分别为1111nnqbpa与nnqbpa11，，因为pqpqbapqbababannnnnn1111111它是一个与n无关的常数，所以nnba是一个以pq为公比的等比数列。即为111npqba与npqba11结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列．nanbnnba特别地，如果是等比数列，c是不等于０的常数，那么数列也是等比数列．nanac1.求证若数列{an}是等差数列,则{ban}是等比数列2求证若数列{an}是正项等比数列,则{logban}是等差数列.1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(1)求证:数列{an+1}是等比数列.(2)求{an}的通项公式.2.已知数列{an}满足(1)求证:数列{an}是等比数列.(2)求{an}的通项公式.*11711,,823nnaaanN23补充:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数奎屯王新敞新疆等差数列等比数列定义数学表达如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。an+1-an=d(常数)符号表示首项a1,公差d如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。首项a1,公比q(q≠0)d与{an}q与{an}d＞0{an}递增d＜0{an}递减d＝0{an}为常数列q＞0{an}中各项同号q＜0{an}中的项正负相间q＝1{an}为非零常数列通项公式an=a1+（n-1）dan=a1·qn-1an+1an=q(常数)等比中项a,A,b成等差数列,2A=a＋ba,G,b成等比数列,G2=ab判定等比数列常用方法(1)定义法:(2)等比中项法:(3)通项法:11()()(2){}nnnnnaaqqnaaa常数或常数为等比数列212(0,*){}nnnnnaaaanNa为等比数列111(,,*){}nnnaaqaqnNa其中为非零常数为等比数列1111nnmmaaqaaq解：由等比数列的通项公式可知　　　　nmqnma两式相除，得anmnmaaq　n-1n1a=aq试比较　　与上式二.学以致用已知等比数列的公比为q,第m项为,求.mana10101551a=aq4q解：由得512q520155522aaq或练习已知等比数列.20155,5,20,aaaan求若n+m=p+q,则anam=apaq证明:111111mnmnqaqaaa2121mnqa111111qpqpqaqaaa2121qpqaqpmn练习:•⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16，a8=.•⒉在等比数列{an}中，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.•⒊在等比数列{an}中，若•则a10=-1286625161374aaaa51、若等比数列{an},a4=1,a7=8,则a6与a10的等比中项是______.±162、若等比数列{an}中,⑴若已知a2=4,a5=,求an;⑵若已知a3a4a5=8,求a2a6的值.212、在等比数列中，，求该数列前七项之积。nb34b3、在等比数列{an}中,,,求a8.22a545a1、在等比数列{an}中，已知,,求51a100109aa18a练习：二.新课讲授243546236,aaaaaa35aa15115215315191520logloglogloglogaaaaa例2．在