用数学归纳法证明不等式举例

服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]课堂互动探究课前自主导学课后知能检测当堂双基达标二用数学归纳法证明不等式举例服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]课标解读1.会用数学归纳法证明简单的不等式．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x－1，x≠0，n为大于1的自然数．那么有(1＋x)n.2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．1＋nx服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]如何认识贝努利不等式？【提示】当指数n推广到任意实数α时，x＞－1时，①若0＜α＜1，则(1＋x)α≤1＋αx.②若α＜0或α＞1，则(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]数学归纳法证明不等式已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n1，n∈N*)，求证：S2n1＋n2(n≥2，n∈N*)．【思路探究】先求Sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]【自主解答】(1)当n＝2时，S22＝1＋12＋13＋14＝25121＋22，即n＝2时命题成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k1＋k2.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋11＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋11＋k2＋2k2k＋2k＝1＋k2＋12＝1＋k＋12.故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)、(2)知，对n∈N*，n≥2，S2n1＋n2都成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为12k的后一项为12k＋1，实际上应为12k＋1；二是12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1共有多少项之和，实际上2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，由f(1)＝112，f(3)1，f(7)32，f(15)2，…”.试问：f(2n－1)与n2大小关系如何？试猜想并加以证明．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]【解】数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列12，1，32，2，…，通项公式为an＝n2，∴猜想：f(2n－1)n2.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝112，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]即f(2k－1)k2，则f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－2＋12k＋1－1f(2k－1)＋12k＋1＋…＋12k＋1，＝f(2k－1)＋12k2＋12＝k＋12.∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①、②知对任何n∈N*原不等式均成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]证明：2n＋2n2(n∈N*)．【思路探究】验证n＝1,2,3时不等式成立⇒假设n＝k成立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证【自主解答】(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左右；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左右．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5](2)假设当n＝k(k≥3且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N*)．当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－22k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]所以2k＋1＋2(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N*都成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]设0a1，定义a1＝1＋a，an＋1＝1an＋a，求证：对一切正整数n∈N*，有1an11－a.【证明】(1)当n＝1时，a1＝1＋a，且0a1，∴a11.又a1＝1＋a11－a，因此当n＝1时，不等式1an11－a成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5](2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1ak11－a.当n＝k＋1时，由递推公知，知ak＋1＝1ak＋a(1－a)＋a＝1，同时，ak＋1＝1ak＋a1＋a＝1－a21－a11－a，因此当n＝k＋1时，1ak＋111－a，命题也成立．综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1an11－a.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]不等式中的探索、猜想、证明若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．【思路探究】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]【自主解答】当n＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1a24，则2624a24，∴a26.又a∈N*，∴取a＝25.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]下面用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524.(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N*)，1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋12524，∴当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋1＋1服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋12524＋13k＋2＋13k＋4－23k＋1，∵13k＋2＋13k＋4＝6k＋19k2＋18k＋823k＋1，∴13k＋2＋13k＋4－23k＋10，∴1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋12524也成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，都有1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524，∴a的最大值为25.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.这一点必须清楚．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]设an＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]【解】假设g(n)存在，那么当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)，即1＝g(2)1＋12－1，∴g(2)＝2；当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，即1＋1＋12＝g(3)1＋12＋13－1，∴g(3)＝3，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，即1＋1＋12＋1＋12＋13＝g(4)1＋12＋13＋14－1，∴g(4)＝4，由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N＋时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5](1)当n＝2时，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2×1＋12－1＝1，结论成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5](2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1＝(k＋1)ak＋1k＋1－1＝(k＋1)(ak＋1－1)，说明当n＝k＋1时，结论也成立，由(1)、(2)可知，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5](教材第53页习题4.2第3题)用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式122＋132＋…＋1n2n－1n都成立．设a＞2，给定数列{xn}，其中x1＝a，xn＋1＝x2n2xn－1(n＝1,2，…)求证：(1)xn＞2，xn＋1xn＜1(n＝1,2，…)；(2)如果a≤3，那么xn≤2＋12n－1(n＝1,2，…)．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]【命题意图】本题考查不等式成立的证明、数列的基础知识以及数学归纳法的应用．主要考查学生的推理论证能力，转化与化归思想解决问题的能力．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]【证明】(1)要使结论成立，只需证2＜xn＋1＜xn，下面用数学归纳法给出证明：①当n＝1时，由题知x2＝x212x1－1＝x1＋2－x1x12x1－1，又x2＝x212x1－1＝2＋x1－222x1－1，∵x1＝a＞2，∴2－x1x12x1－1＜0，x1－222x1－1＞0，∴x2－x1＜0，即x2＜x1，x2－2＞0，即x2＞2.∴2＜x2＜x1，即结论成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·选修4-5]②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即2＜xk＋1＜xk，那么n＝k＋1时，xk＋2＝x2k＋12xk＋1－1＝xk＋1＋2－xk＋1xk＋12xk＋1－1＜xk＋1，又xk＋2＝x2k＋12xk＋1－1＝2＋xk＋1－222xk＋1－1＞2，∴2＜xk＋2＜xk＋1.这表明n＝k＋1时，结论成立．由①②知，结论成立，故xn＞2，xn＋1xn＜1(