第十二章--能量法(一)

第十二章能量法(一）Page1第12章能量法（一）§12-1外力功与应变能的一般表达式§12-2互等定理§12-3卡氏定理§12-4变形体虚功原理§12-5单位载荷法§12-6图乘法第十二章能量法(一）Page2本章主要介绍能量法的基本原理与分析方法，包括：外力功与应变能功与位移互等定理克罗第-恩格塞定理与卡氏定理变形体虚功原理与单位载荷法研究对象：直杆、曲杆、桁架与刚架，涉及线性与非线性问题第十二章能量法(一）Page3引言回顾：计算节点A铅垂位移的两个方法方法一NNFlFlllEAEA11212,Al12FAllFlEA21221cossintansincos方法二NNFlFlFlVEAEAEA222211221cos222sincosFW2FlEA221cossincosNNFFFF12sin,tan（压）（拉）第十二章能量法(一）Page4问题：（1）用什么方法求节点A的位移BC杆的转角？FABC能量法可以有效研究更复杂的一般问题第十二章能量法(一）Page5§12-1外力功与应变能的一般表达式一、计算外力功的基本公式非线性弹簧dWfdWfd***0,刚体WFWFcosF线性弹簧k：弹簧常数ffk,FkWkd2022f为什么线弹性体外力功表达式有常系数1/2？第十二章能量法(一）Page6一般弹性体相应位移:0Wf0d线性弹性体载荷f:0F思考：常数k怎样确定？fdfdFfkWkdkF201122Fk对比：弹性体与弹簧第十二章能量法(一）Page7广义力与广义位移相应位移：载荷F作用点沿载荷作用方向的位移分量。外力功：载荷在相应位移上所作之功。广义力：力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。广义位移：线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。FAAFAA△：与力F相应的广义位移第十二章能量法(一）Page8二、克拉比隆定理：线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠加原理，各广义力与相应广义位移成正比。niiiFW12Fi－广义载荷i－相应广义位移外力功：由于外力功与加载次序无关，本定理也适用于非比例加载。但只适用于线弹性体克拉比隆定理是否说明可由叠加法计算多个力的功？不能，因为iinFFF12,,，第十二章能量法(一）Page90dΔWfEAfl33llFCABNFNFCFEAlEAFll3232例：已知，求与关系。,,FlEAF•几何非线性问题与外力功计算载荷-位移关系外力功计算ΔEAEAFWll43330d42构成线性弹性结构的条件材料符合胡克定律（物理线性）小变形可按原始几何关系分析内力与变形（几何线性）第十二章能量法(一）Page10三、应变能的一般表达式εddddxzyV21.单位体积内应变能－应变能密度εdVvVE222dddxyz2拉压应变能密度vG222•纯剪应变能密度第十二章能量法(一）Page112.基本变形的应变能•拉压FN(x)dxεvE2222VvdxdydzdxdydzENF(x)(x)=,dydzAAlFxVxEA2Nε()1d2niiiiiFlVEA2Nε112对于桁架应变能密度拉压杆应变能第十二章能量法(一）Page12•扭转lTxVxGI2εt1()d2T(x)dxdvG22应变能密度VvdxdydzdxdydzG22圆轴扭转应变能pT(x)(x)=I2222122lppT(x)T(x)VdxdydzdxGIGI非圆截面轴扭转应变能第十二章能量法(一）Page13•弯曲M(x)dxd应变能密度22VvdxdydzdxdydzE拉压杆应变能zM(x)y(x)=IlzzM(x)yM(x)VdxdydzdxEIEI2222122εvE2222ε()d()d=22yzllyzMxxMxxVEIEI非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能yCzlF注：忽略了弯曲剪力的应变能第十二章能量法(一）Page14T(x)dxdM(x)dxd利用功能原理计算应变能FN(x)dxd•拉压Nε()ddd2FxδVWNFdxdEA2NεF(x)dxdV2EAεT(x)ddVdW2pTdxdGI2εpT(x)dxdV2GI•扭转εM(x)ddVdW2MdxdEI2εzM(x)dxdV2EI•弯曲第十二章能量法(一）Page153.组合变形的应变能T(x)dxdM(x)dxdFN(x)dxdFN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx2NεF(x)dxdV2EA2εpT(x)dxdV2GI2εzM(x)dxdV2EI思考：组合变形的总应变能能否由各基本变形的应变能叠加，为什么？答：能够。因为各基本变形的应变能不耦合。换句话说，一种基本变形的对应内力在其他基本变形上作的功为零。第十二章能量法(一）Page16组合变形的应变能公式FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dxNε222Np()d()d()dd222()d()d()d222FxTxMxVFxxTxxMxxEAGIEI•圆截面杆或杆系222Nεp()d()d()d222lllFxxTxxMxxVEAGIEI2222Nεt()d()d()d()d2222yzllllyzMxxMxxFxxTxxVEAGIEIEI•非圆截面杆或杆系（y,z轴－主形心轴）第十二章能量法(一）Page17解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)()eMxMFx22223ee0()2622lFMlMlMxFlVdxEIEIEIEIe223e,F,M62MlFlVVVEIEI多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算梁的应变能与外力所做之总功。弯曲刚度为EI。FMAx第十二章能量法(一）Page18解:(2)计算外力所作之总功e23e,F,M32AAAMlFle2e,F,M2AAAMlFlEIEI2223eee22622AAMFMlMlFwFlWEIEIEI结论：梁的应变能等于外力所做总功FMA•挠度•转角•外力功第十二章能量法(一）Page19例:试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为d，材料弹性模量和剪切模量分别为E和G。解：对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：AB段：101()MxMFxBC段：2220(),()MxFxTxMFl分析：总应变能等于各段、各基本变形的应变能叠加。为什么？BlCx2x1M0FAl第十二章能量法(一）Page202223004222300432(332)316(2)MlMFlFlEdMlMFlFlGd222112222000()()()222lllpMxdxMxdxTxdxVEIEIGI2222233000022222pppMlMFlMlMFlFlFlEIEIEIGIGIGIBlCx2x1M0FAl第十二章能量法(一）Page21•仅作用力F，刚架应变能为2323()4464163FFlFlVEdGd（２）•如果仅作用力偶，刚架应变能为0M022()00443216MMlMlVEdGd（３）222322230000443216(332)(2)3VMlMFlFlMlMFlFlEdGd（1）检验：（1）?VW（2）0()()?MFVVV•单独计算各载荷对应的应变能。第十二章能量法(一）Page22§12-2互等定理如何解下述问题？1.测量线弹性梁（图a,等截面或任意形状变截面）A、B两点挠度，但仅端点C适合装千分表。FABCa2.（P63，题12－5）等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松比求,llFb(1)第十二章能量法(一）Page23ij考察同一弹性体的两种受力状态引起位移的载荷发生位移的点ADF2212221ADF1211211第十二章能量法(一）Page24221112FF先加F1，后加F2：先加F2，后加F1：11112221121122WFFF22221112211122WFFF线弹性体的两种加载次序与功总功与加载次序无关W1=W2ADF222221F1111ADF222211F1121两表达式的交叉项相等第十二章能量法(一）Page25221112FFADF222221F1111ADF222211F1121对于线性弹性体，F1在F2引起的位移12上所作的功，等于F2在F1引起的位移21上所作的功功的互等定理（简单情形）第十二章能量法(一）Page26•功的互等定理（简单情形）221112FF•功的互等定理（一般情形）对于线性弹性体，第一组外力F1(i)(i=1,2,…,m)在第二组外力引起的位移12(i)上所作的功，等于第二组外力F2(j)(j=1,2,…,n)在第一组外力引起的位移21(j)上所作的功。ADF2M2q2ADF1M1q1mniijjijFF()()()()11211211其中力和位移均指广义力和广义位移。第十二章能量法(一）Page27若F1=F22112位移互等定理221112FFADF2212221ADF1211211当F1与F2的数值相等时，F2在点1沿F1方位引起的位移12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移21第十二章能量法(一）Page28例：测量线弹性梁（图a,等截面或任意形状变截面）A、B两点挠度，但仅端点C适合装千分表。FABCa解：设图a在A点的挠度为CAFABCb如图b加载和装千分表，测得C点的挠度为AC则根据位移互等定理ACCA第十二章能量法(一）Page29由功的互等定理*0AAABFFFBAAFF例：如图a支座A因装配应力破坏，A、B点分别下降和,在新的无初应力位置修复（图b），求B点作用F时支座A的约束反力。AB解：在破坏前和破坏又修复后，结构受力状态如图a,b。FABAF(b)ABAB*AF(a)第十二章能量法(一）Page302FbFlFlbEA例：（P63，题12－5）等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松比求,l解:设第二种受力状态为轴向拉力F2FbbbbbEEA对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?lFb(1)F(2)如何设第二种受力状态？第十二章能量法(一）Page31qxyqEE11qdqdE1dFAEh1如何设第二种受力状态？由功的互等定理sqFdqhdsqAh0FFABd例：已知E，，h，求均质薄板面积改变量Aq解：考虑薄板受均布载荷q第十二章能量法(一）Page32FF思考题1板内开任意一孔，是否变化？AFF思考题2内孔受一对图示方向的力，是正还是负？A第十二章能量法(一）Page33○A．T○B．F1WF11112F2WF222121F1F2WT单独作用下的外力功，在单独作用下的外力功，其中和为沿相应载荷方向的位移，设在和共同作用下的一定有。例：线弹性结构在2外力功○D．上述三个答案都不正确○C．●第十二章能量法(一）Page34TWFFF1112221121122TWFFF