超几何分布

（北师大版）选修2-3：概率编写教师：焦旭利1超几何分布回顾：1.随机变量2.离散型随机变量3.离散型随机变量的分布列的定义4.离散型随机变量的性质新授：情境：在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品质量。假定一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数记为X，如何求X的分布列？问题：用怎样的数学模型来刻画上述问题呢？实例：以10,4,3NMn为例，研究抽取10件产品中不合格品数X的分布列？分析：从10件产品中随机抽取3件共有310C种取法，并且每一种取法都是等可能的。已知10件产品中有4件次品，因此X的可能取值为0,1,2,3X其中，“0X”表示“任取的3件产品中不含次品”，也即，从4件次品中取出0件，再从104件正品中取出30件，根据分步乘法计数原理可知，共有0304104CC种取法，故事件“0X”的概率0304104310201(0)1206CCPXC类似地，“1X”表示“任取3件产品中恰有1件次品”，也即，从4件4次品中取出1件，再从104件正品中取出31件，根据分步乘法计数原理，共有1314104CC种取法，故事件“1X”的概率1314104310601(1)1202CCPXC同理可得：2324104310363(2)12010CCPXC333410431041(3)12030CCPXC事实上，“Xk”（0,1,2,3k）表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，也即，从4件次品（北师大版）选修2-3：概率编写教师：焦旭利2中取出k件，再从104件正品中取出3k件，共有34104kkCC种取法，故X的分布列为34104310()kkCCPXkC（0,1,2,3k）也可列成表：Xk0123()PXk1612310130概括：一般地，设有N件产品，其中()MMN件次品.从中任取()nnN件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么()knkMNMnNCCPXkC（其中k为非负整数）如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为,,NMn的超几何分布，记为(;,,)HknMN.X的分布列也可如下表所示：X012lP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCC22nMNMnNCCClnlMNMnNCCC其中min{,}lnM注意：（1）超几何分布是随机现象中十分常见的一种分布，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械记忆；（2）当抽取的产品件数不大于总体中次品的件数（即nM）时，maxkn；当抽取的产品的件数大于总体中次品的件数（即nM）时，maxkM；（3）超几何分布的特点：①
总体中含有两类不同的个体；②
不放回抽取，且无先后顺序；③
随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量.（北师大版）选修2-3：概率编写教师：焦旭利3（4）“超几何分布”常见应用：产品中的合格品和不合格品、盒中的红球和黑球、学生中的男生和女生，等等。应用“超几何分布”模型求概率，关键在于对这种模型的识别。（5）运用“超几何分布”模型解题的步骤：①分析题意，明确题中的随机变量服从超几何分布，并写出相应的参数,,NMn的值；②指出随机变量所有的可能的取值，根据公式求出取每一个值时的概率；③应用分布列及互斥事件、对立事件等知识求事件的概率应用：课标新卷21页，22页