线性代数课件3-2矩阵的初等变换与初等矩阵

2020年3月22日10时31分§2矩阵的初等变换与初等矩阵目的要求（3）掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法；（1）了解矩阵的初等列变换、标准形等概念；（2）掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用；（4）掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法.2020年3月22日10时31分一、初等变换与标准形矩阵的初等行变换:(0)ijiijrrrkkrkr；；矩阵的初等列变换:(0)ijiijccckkccr；；初等变换求解线性方程组为了解不变，必须着眼于方程整体变化，所以原则上只用矩阵的初等行变换，而不用矩阵的初等列变换.2020年3月22日10时31分97963422644121121112B31cc32cc514cc523cc543cc34cc标准形2020年3月22日10时31分标准形矩阵特点：rmnEOOO任意矩阵经过初等变换总可以化为标准形.左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.标准形的形式有四种：0nmnE0mmnEmE2020年3月22日10时31分等价关系：满足以下三个性质的关系称为等价：~”表示.等价用“1.反身性，A→A；2.对称性，若A→B，则B→A；3.传递性，若A→B，B→C，则A→C2020年3月22日10时31分等价矩阵：~AB~rAB~cAB矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A、B等价，记作矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A与B按行等价，记作矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A与B按列等价，记作2020年3月22日10时32分二、引例121212100001010aabbcc1212120110aabbcc2020年3月22日10时32分121212100aabbkcc12121210000001aakbbcc0k2020年3月22日10时32分12121210010001kaabbcc121212101aakbbcc2020年3月22日10时32分三、初等矩阵定义：称由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵为初等矩阵.(0)ijiijrrrkkrkr；；(0)ijiijccckkccr；；2020年3月22日10时32分1、对调两行或两列1101111011),(jiE行第i行第jEijrrijcc2020年3月22日10时32分ij2020年3月22日10时32分ij2020年3月22日10时32分E(i,j)(,)EijA(,)(,)EijEijE1,,.EijEij~ijrrA~jiccA(,)AEij2020年3月22日10时32分2、以非零数k乘某行或某列E,0irkk,0ickk1111))((kkiE行第i2020年3月22日10时32分E(i(k))11.EikEik,(0)~(())irkkAEikA,(0)~(())ickkAAEik,由对角矩阵的特性知：2020年3月22日10时32分3、以数k乘某行（列）加到另一行Eijrkrjickc行第i行第jiij2020年3月22日10时32分111(())11TTimTjTmkEijkAMOMOOM1TTTijTjTmkMMM2020年3月22日10时32分111(()),,,,,,11nijnkAEijkaaaaOLLLOO1,,,,,,ijinaaakaaLLLij2020年3月22日10时32分11111111kkOOOOOOE2020年3月22日10时32分E(ij(k))(())EijkA1.EijkEijk~ijrkrA~jickcA(())AEijk2020年3月22日10时32分例1021102341010100001100001010X解矩阵方程解：(1,2)EX(2,3)E1432011201(1,2)E1(2,3)E(1,2)E(2,3)E201143120(2,3)E2101341022020年3月22日10时32分例2解矩阵方程解：(1,2)EX(13(1))E1234567891(1,2)E1(13(1))E(1,2)E(13(1))E456123789(13(1))E010101123100010456001001789X4521227822020年3月22日10时32分四、初等变换的性质定理1设是一个矩阵，nmA对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.2020年3月22日10时32分方阵可逆的充要条件A~AE定理2：n阶方阵可逆设A可逆，且标准形为000rE,rn0~00rEA11000rtsEPPQQA左端行列式为0，右端行列式不为0，矛盾.~AE~EA~AE11tsPPEQQA初等矩阵可逆，有限个可逆阵乘积也可逆.A~rAE可以写成有限个初等矩阵的乘积~cAE2020年3月22日10时32分mn定理3：设A与B为~rAB矩阵，则（1）~cAB,.;QstAQB（2）~AB（3）存在可逆阵,.;PstPAB存在可逆阵,,..PQstPAQB存在可逆阵2020年3月22日10时32分五、初等变换应用一---求逆阵12lAAPPPL当可逆时，由，有,11111EAPPPll,111111AEPPPll及1111111111,llllPPPAPPPELL1,EA11111,llPPPAEL2(,)nnAE即对矩阵施行初等行变换，求1.AEEA行最简形,当把变成时，原来的就变成2020年3月22日10时32分例3.,3431223211AA求设解：122rr133rr23rr2020年3月22日10时32分12rr3(1)r132rr235rr21()2r1132353.22111A2020年3月22日10时32分六、初等变换应用二---求解Ax=B11(,)(,)AABEABQ当A为可逆方阵，矩阵方程AX=B的解为1XAB1(,)~(,)rABEAB(,)AB即对矩阵施行初等行变换，求1.AEBAB行最简形,当把变成时，原来的就变成2020年3月22日10时32分例4.341352,343122321,BABAXX，其中使求矩阵解：122rr133rr21rr23rr3(1)r235rr132rr21()2r13223.13XAB2020年3月22日10时32分.1CAY即可得作初等行变换，也可改为对),(TTCA,1作初等列变换，则可对矩阵如果要求CACAY,CA1CAE列变换),)(,(),1TTTTCAECA（行变换TT1C)(AYT即可得,C)(T1TA.Y即可求得2020年3月22日10时32分七、初等变换应用三(,)AE~,rAB,.;PstPAB求(,)(,)PAEBP(,)~(,)rAEBP方法：变换成(,)BP即得所求P利用初等行变换将2020年3月22日10时32分例5211112462AFP.PAF设的行最简形矩阵为，求，并求一个可逆矩阵，使F解：(,)~(,)rAEFP12rr322rr212rr23rr324rr12rr101011000F3313211083P2020年3月22日10时32分八、思考题,1222201111A,00110001.nijijnAALLLMMMML、已知方阵求中所有元素的代数余子式之和解：,02A.可逆A.1*AAA且2020年3月22日10时32分2222100001110100,0011001000010001AELLLLLLMMMMMMMMLL1000100011000100011000100012100012020年3月22日10时32分,100011000110001211A,21*AAnjiijA1,故.1)]1()1(21[2nn2020年3月22日10时32分100201.010A2、将矩阵表示成有限个初等方阵的乘积解：100100(,)201010010001AE23rr100100010001001210212rr2(1)r3(1)r2020年3月22日10时32分23rr212rr2(1)r3(1)r(21(2)),E(2(1)),E(3(1)),E(2,3).E经四次初等行变换化成单位矩阵AE而这4次初等行变换所对应的初等阵为:由初等方阵的性质得(2,3)(3(1))(2(1))(21(2))EEEEAE于是1(2,3)(3(1))(2(1))(21(2))AEEEE(21(2))(2(1))(3(1))(2,3)EEEE2020年3月22日10时32分(21(2))(2(1))(3(1))(2,3)AEEEE100100100100210010010001001001001010注：答案不唯一2020年3月22日10时32分§2矩阵的初等变换与初等矩阵目的要求（3）掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法；（1）了解矩阵的初等列变换、标准形等概念；（2）掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用；（4）掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法.