正弦定理和余弦定理

第1页共10页正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=()A.5B.错误!未找到引用源。C.2D.1【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,然后结合条件,利用余弦定理,求得AC.【解析】选B.因为S△ABC=12acsinB=1212·sinB=12,所以sinB=22,所以B=4或34.当B=4时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.（2）所以B=34,使用余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=错误!未找到引用源。.故选B.二、填空题2.(2014·湖北高考文科·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=错误!未找到引用源。,a=1,b=错误!未找到引用源。,则B=.【解析】依题意,由正弦定理知错误!未找到引用源。=3sinB,得出sinB=32.由于0Bπ,所以B=错误!未找到引用源。或23.答案:错误!未找到引用源。或23【误区警示】由于解题过程中无法判断B是锐角还是钝角,所以由sinB=32得到两个结果:B=错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。.本题的易错点是漏掉其中一个.3.(2014·广东高考理科)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则ab=.【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,错误!未找到引用源。=2.方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即错误!未找到引用源。第2页共10页=2.答案:2【创新提示】熟用三角形射影定理coscos,coscos,coscosacBbCbaCcAcaBbA可迅速得解.4.（2014·福建高考文科·Ｔ14）14．在ABC中，3,2,60BCACA,则AB等于_________【解题指南】直接应用余弦定理求解。【解析】由余弦定理2222cosBCABACABACA，得23422cos60ABAB，即2210ABAB，解得1AB．答案：1．5.（2014·福建高考理科·Ｔ12）在ABC中，32,4,60BCACA,则ABC的面积等于_________【解题指南】先利用余弦定理求出AB，再由面积公式求解。【解析】由题，2222cosBCABACABACA，即211216242ABAB，解得2AB，所以1sin232SABACA．【答案】236.（2014·山东高考理科·Ｔ12）在ABC中，已知tanABACA，当6A时，ABC的面积为.【解题指南】本题考查了平面向量的数量积及三角形的面积公式，先利用数量积的定义写出等式，再利用面积公式求出三角形面积.【解析】由已知及平面向量数量积的定义可得costanABACABACAA，所以326cos6tancostanAAACAB，所以616sin3221sin21AACABSABC答案：61.7.（2014·山东高考文科·Ｔ12）第3页共10页函数23sin2cos2yxx的最小正周期为.【解题指南】本题考查了三角恒等变换知识，可先降幂，再化为一个角的三角函数.【解析】：233111sin2cossin2cos2sin2222262yxxxxx22T.答案：T8.（2014·天津高考理科·Ｔ12）在ABCD中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc.已知14bca-=，2sin3sinBC=，则cosA的值为_______.【解析】因为2sin3sinBC=，所以23bc=，解得32cb=，2ac=.所以2221cos24bcaAbc+-==-.【答案】14-三、解答题9、.（2014·湖南高考理科·Ｔ18）（本小题满分12分）如图5，在平面四边形ABCD中，127.ADCDAC＝，＝，＝（1）求cosCAD的值；（2）若721cos,sin,146BADCBA求BC的长．【解题提示】利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解。【解析】（1）如图5，在ADC中，由余弦定理，得ADACCDADACCAD2cos222由题设知，.77272417cosCAD（2）如图5，设,aBAC则.CADBADa第4页共10页因为,147cos,772cosBADCAD所以,721)772(1cos1sin22CADCAD.14213)147(1cos1sin22BADBAD于是.23721)147(77214213sincoscossin)sin(sinCADBADCADBADCADBADa在ABC中，由正弦定理得，.sinsinCBAACaBC故.3621237sinsinCBAaACBC10.（2014·浙江高考文科·Ｔ18）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为,,abc，已知24sin4sinsin222ABAB（1）求角C的大小；（2）已知4b，ABC的面积为6，求边长c的值【解析】（1）因为21cos(AB)sin22AB，所以24sin4sinsin2ABAB=22cos(AB)4sinsinAB=22(cosAcosBsinAsinB)=22cos(AB)=2+2cosC=2+2所以2cosC2，4C。（2）由正弦定理知，1sin2ABCSabC124622a所以32a；由余弦定理知，2222coscababC，所以2222(32)423242c=10，所以10c第5页共10页所以当4b，ABC的面积为6时，边长c的值为10.11.（2014·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知ab，3c，22coscos3sincos3sincos.ABAABB(1)求角C的大小；(2)若4sin,5A求ABC的面积.【解析】（1）由题意得，1cos21cos233sin2sin22222ABAB所以3131sin2cos2sin2cos22222AABB即sin(2)sin(2)66AB由ab，得AB，又(0,)AB，得(2)(2)66AB，所以23AB，即3C（2）由43,sin,5sinsinaccAAC，得85a由ac＜，得AC＜，从而3cos5A，所以sinsin()BACsincoscossinACAC4133433525210所以，ABC的面积为1184338318sin32251025SacB12.（2014·辽宁高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边,,abc，且ac，已知2BABC，1cos3B，3b，求：（Ⅰ）a和c的值；（2）cos()BC的值.第6页共10页【解析】（1）由2BABC，1cos3B得cos2BABCcaB，所以6ac；又由3b及余弦定理得2222cosbacacB，所以2213ac结合ac，解得3,2ac（Ⅱ）由3,3,2abc得2227cos29abcCab，242sin1cos9CC由1cos3B得222sin1cos9BB;所以17224223cos()coscossinsin393927BCBCBC13、（2014·辽宁高考文科·Ｔ17）在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且ac，已知2BABC，1cos3B，3b，求：（1）a和c的值；（2）cos()BC的值.【解析】（1）由2BABC，1cos3B得cos2BABCcaB，所以6ac；又由3b及余弦定理得2222cosbacacB，所以2213ac结合ac，解得3,2ac（Ⅱ）由3,3,2abc得2227cos29abcCab，242sin1cos9CC由1cos3B得222sin1cos9BB;所以17224223cos()coscossinsin393927BCBCBC14.（2014·山东高考文科·Ｔ17）在ABC中，角,,ABC所对的边分别是cba,,.已知.2,36cos,3ABAa（Ⅰ）求b的值；第7页共10页（Ⅱ）求ABC的面积.【解题指南】(1)本题先求出sinA，再利用A，B之间的关系求出sinB，然后用正弦定理求出b.(2)本题可利用余弦定理求出c，再利用三角形面积公式求出三角形面积.【解析】：（Ⅰ）由题意知：23sin1cos3AA，6sinsinsincoscossincos2223BAAAA，由正弦定理得：sin32sinsinsinabaBbABA（Ⅱ）由余弦定理得：2222126cos43903,33,23bcaAccccbc又因为2BA为钝角，所以bc，即3c，所以132sin.22ABCSacB15.(2014·陕西高考文科·T16)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C).(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证;(2)利用等比数列得三边关系,再结合所给条件用余弦定理求cosB的值.【解析】(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),sinA+sinC=2sin(A+C).(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,又c=2a,所以b=错误!未找到引用源。a.由余弦定理得cosB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.16.(2014·陕西高考理科·T16)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C).第8页共10页(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证.(2)利用余弦定理及基本不等式解决最值问题,注意取最值的条件须注明.【解析】(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),sinA+sinC=2sin错误!未找到引用源。.(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由余弦定理得cosB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.当且仅当a=c时等号成立.所以cosB的最小值为错误!未找到引用源。.16.（2014·天津高考文科·Ｔ16）（本小题满分13分）在ABC中，内角CBA,,所对的边分别为cba,,，已知bca66，CBsin6sin（1）求Acos的值；（2）求)62cos(A的值.【解析】(1)在△ABC中,由bc=.sinsinCB错误!未