椭圆焦点三角形面积公式的应用

1椭圆焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，焦点分别为1F、2F，点P是椭圆上任意一点，21PFF，则2tan221bSPFF.证明：记2211||,||rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bcarr由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF..2tan221bSPFF同理可证，在椭圆12222bxay（a＞b＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1若P是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求△21PFF的面积.解法一：在椭圆16410022yx中，,6,8,10cba而.60记.||,||2211rPFrPF点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.20221arrPyF1OF2xP2在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr从而.325621rr.336423325621sin212121rrSPFF解法二：在椭圆16410022yx中，642b，而.60.336430tan642tan221bSPFF解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2已知P是椭圆192522yx上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121PFPFPFPF，则△21PFF的面积为（）A.33B.32C.3D.33解：设21PFF，则21||||cos2121PFPFPFPF，.60.3330tan92tan221bSPFF故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622yx的左、右焦点分别是1F、2F，点P在椭圆上.若P、1F、2F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A.59B.779C.49D.49或779解：若1F或2F是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长492ab；若P是直角顶点，设点P到x轴的距离为h，则945tan92tan221bSPFF，又,7)2(2121hhcSPFF397h，.779h故答案选D.金指点睛1.椭圆1244922xy上一点P与椭圆两个焦点1F、2F的连线互相垂直，则△21PFF的面积为（）A.20B.22C.28D.242.椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F，P是椭圆上一点，当△21PFF的面积为1时，21PFPF的值为（）A.0B.1C.3D.63.椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F，P是椭圆上一点，当△21PFF的面积最大时，21PFPF的值为（）A.0B.2C.4D.24．已知椭圆1222yax（a＞1）的两个焦点为1F、2F，P为椭圆上一点，且6021PFF，则||||21PFPF的值为（）A．1B．31C．34D．325.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F、2F为焦点，点P在椭圆上，直线1PF与2PF倾斜角的差为90，△21PFF的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，1F、2F为左右焦点，P为椭圆上一点，且21||||2121PFPFPFPF，△21PFF的面积是3，准线方程为334x，求椭圆的标准方程.参考答案1.解：24,90221bPFF，2445tan242tan221bSPFF.故答案选D.2.解：设21PFF，12tan2tan221bSPFF，90,452，021PFPF.4故答案选A.3.解：3,1,2cba，设21PFF，2tan2tan221bSPFF，当△21PFF的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，120，2120coscos||||22121aPFPFPFPF.故答案选D.4．解：6021PFF，1b，3330tan2tan221bSPFF，又||||43sin||||21212121PFPFPFPFSPFF，33||||4321PFPF，从而34||||21PFPF.故答案选C.5.解：设21PFF，则90.2045tan2tan22221bbbSPFF，又3522abaace，95122ab，即952012a.解得：452a.所求椭圆的标准方程为1204522yx或1204522xy.6．解：设21PFF，120,21||||cos2121PFPFPFPF.3360tan2tan22221bbbSPFF，1b.又3342ca，即33333411222cccccbc.3c或33c.当3c时，222cba，这时椭圆的标准方程为1422yx；5当33c时，33222cba，这时椭圆的标准方程为13422yx；但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422yx.