洛必达法则

1小结作业型未定式,0型未定式00,1,0第二节洛必达法则第三章微分中值定理与导数的应用型未定式型,002,)(时或如果当xax其极限都不能直接利用极限运算在第一章中看到,无穷大之商,法则“商的极限等于极限的商”来求.称为)()(lim)(xFxfxax那末极限定义00型未定式.或如,xxxtanlim0bxaxxsinlnsinlnlim0)00()(两个无穷小之商或两个洛必达法则两个函数f(x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,3一、)()(lim)3xFxfax存在(或为))()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf定理1.型未定式00(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束4证定义辅助函数,,0),()(1axaxxfxf,,0),()(1axaxxFxF,)(0xaU内任取一点在,为端点的区间上与在以xa,)(),(11件满足柯西中值定理的条xFxf则有)()()()()()(1111aFxFafxfxFxf)()(Ff)(之间与在ax,,aax时当,)()(limAxFxfax,)()(limAFfa.)()(lim)()(limAFfxFxfaax5推论1.定理1中ax换为,ax之一,推论2.若)()(limxFxf理1条件,则该法则仍然成立.,x洛必达法则定理1目录上页下页返回结束6例解.2coslim2xxx求)2()(coslim2xxx原式1sinlim2xx.1)00(2sin洛必达法则7例1.求解:原式lim1x型00266lim1xxx23注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232xx机动目录上页下页返回结束8例解.1sinarctan2limxxx求xxxx1cos111lim22原式)00(19注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例解.tantanlim20xxxxx求30tanlimxxxx原式xxxx6tansec2lim2022031seclimxxxxxxtanlim310.3110例.)(arcsin1sinlim20xxexx求)00(解)0(~arcsinxxx201sinlimxxexx原式xxexx2coslim0)00()00(2sinlim0xexx.21洛必达法则11二、型未定式)()(lim)3xFxfax存在(或为∞))()(limxFxfax定理2.)()(limxFxfax(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束,)()()()2内可导在与axFxf12说明:定理中ax换为之一,法则仍然成立.,ax,ax,xx,x定理2目录上页下页返回结束13例3.求解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例4.求解:(1)n为正整数的情形.原式0xnxexn1limxnxexnn22)1(limxnxen!lim.)0,0(limnexxnx型机动目录上页下页返回结束14例4.求.)0,0(limnexxnx(2)n不为正整数的情形.nx从而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夹逼准则kx1kx存在正整数k,使当x1时,机动目录上页下页返回结束15用洛必达法则应注意的事项,,00)1(才可能用法则的未定式或只有,00或只要是并且满足定理1的条件，则可一直用下去;(3)每用完一次法则,要将式子整理化简;(2)在用法则之前,式子是否能先化简;洛必达法则16例解xxxxcoslim求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在洛必达法则失效.)cos11(limxxx原式.1)(洛必达法则的使用条件.注17.)0(0lnlimnxxnx例3.例4..)0,0(0limnexxnx例如,而用洛必达法则注在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.18型未定式二、,0例解.lim2xxex求)0(xexx2lim2limxxe.,00.型0.1步骤:00102limxexx原式)()(关键1或000将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型洛必达法则19例).arctan2(limxxx求)0(解xxx1arctan2lim原式)00(22111limxxx221limxxx1洛必达法则20例解).1sin1(lim0xxx求)(0000xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0型.2步骤:)00()00(xxxxxxsincoscossinlim0010100洛必达法则21步骤:0例解.lim0xxx求)0(0原式ee0e.1e001000exxlnxxxlnlim0xxx1lnlim02011limxxx0ln0e1lneln0e)0()(0limx00,1,0三、型未定式洛必达法则22例10解.lim111xxx求)1(xxxeln111lim原式xxxe1lnlim111lim1xxe.1e例11解.)(cotlimln10xxx求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0,1.1e原式23内容小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy令取对数机动目录上页下页返回结束24作业习题2.5(90页)1.(2)(4)(6)(7)(9)(10)(11)4.(1)(2)洛必达法则