华罗庚数学课本六年级

第一章分数的简便计算在分数计算咩，经常会出现类似下面的题目：1111111223344556991001231998199919991999199919991999122436100200234669200300……如果不去观察、尝试，找出其中的奥秘，将很难解决这样的问题。同学们，你们能想出好的办法吗？本章将就这样的问题，从约分法和分数的拆分角度加以解决。只要在平时的学习中多研究、多尝试、多思考，你还会想出更好、更奇妙的方法，试试吧！第一节巧用运算定律和性质探究目标1．能够根据四则运算的定律及性质使一些计算变得简便。2．能利用和、差、积、商的变化规律进行简便运算。3．进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。探究过程参与一下“做数学”的过程，探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！例用简便方法计算14×37＋0.65×813－27×14＋513×0.65的结果。建议：1．先观察题目中数字的特点，找出能够简便的方法。2．要能够合理应用运算定律。讨论：1.14×37与27×14能够运用乘法分配率壹行简便计算。2．0.65×813与513×0.65能够运用乘法分配率过行简便计算。证明：题中第一组和第三组的两个乘式可以利用乘法分配律简便计算，第二组和第四组的两个乘式可以利用乘法分配咎简便计算。所以，原式＝(37－27)×14＋(813＋513)×0.65＝2＋0.65＝2.65例1计算：55×5556。[完全解题]通过观察发现5556与1接近，可以把5556看成1－156．这样就可以运用乘法的分配律达到简算目的。55×5556＝55×(1－156)＝55×1－55×156＝55－5556＝54156通过观察，还可以发现55加上1正好等于56，所以也可以这样简算：55×5556－(56－1)×5556＝56×5556＝1×5556＝55－5556＝54156[技法点睛]本题关键是先要观察题目的特点，可以将第一个因数变化，也可以将第二个因数进行变化。例2计算：14×(4.85÷518－3.6＋6.15×335)。[完全解题]题中的4.85÷35就是4.85×185，即4.85×335。14×(4.85÷518－3.6＋6.15×335)＝14×(4.85×335－335＋6.15×335)＝14×[(4.85－1＋6.15)×335]＝14×36＝9[技法点睛]本题中关键是将4.85÷518改写成4.85×185，再运用乘法分配率进行简便计算。例3计算：12.5×(36－715)÷3.6。[完全解题]根据运算性质可以把(36－715)÷3.6改写成36÷3.6－715÷3.6。12.5×(36－715)÷3.6＝12.5×(36÷3.6－7.2÷3.6)＝12.5×8＝100[技法点睛]本题的关键是将算式中的某个整体看作一个数，再运用有关定律进行简便计算。例4计算：(1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.65)－(1＋0.23＋0.24＋0.65)×(0.23＋0.34).[完全解题]仔细观察，这组算式中的数就是1，0.23，0.34，0.65，它们按某种规律排列，像这样的题目可以将它的某一部分看作一个整体，用字母代替，这样可简化计算的过程。设A＝0.23＋0.34,B＝0.23＋0.34＋0.65。原式＝(1＋A)×B－(1＋B)×A＝B＋AB－A－AB(AB与BA一样的结果，且可相互抵消)＝B－A＝0.23＋0.34＋0.65－(0.23＋0.34)＝0.65[技法点睛]本题从题目本身看是不能简便计算的，所以要善于运用拆数的方法。例5(2003·浙江省小学数学活动课夏令营)计算：(49－18)×18＋(46－18)×18＋(43－18)×18＋…＋(1－18)×18。[完全解题]利用乘法的分配律，可以将每组中的两个分数分别与18相乘，然后再利用乘法分配律将其重新整理。49、46、43、…、1是一组等差数列，一共(49－1)÷3＋1＝17个数，所以一共有17组这样的和相加。原式＝49×18－18×18＋46×18－18×18＋43×18－18×18＋…＋1×18－18×18＝(49＋46＋43＋…＋1)×18－18×18×17＝5318－1764＝525564[技法点睛]本题在利用乘法分配律之前，要运用等差数列求和的方法求出这些数的和一共有多少个。例6(2002·天津市数学学科竞赛)计算：39×148149＋148×86149＋48×74149。[完全解题]对于148×86149，可以变式为148×1149×86＝86×148149；对于48×74149可以变式为24×2×74149＝24×148149。这样三组分数乘整数中的三个分数就变得相同了，利用乘法分配律将其简便计算。原式＝39×148149＋148×1149×86＋24×2×74149＝(39＋86＋24)×148149＝149×148149＝148[技法点睛]在整数与分数相乘中，对于a×bc，可以变式为a×b×1c或者b×ac等形式，这样的变式有利于找出相同的因数，从而可以利用乘法分配律进行简便计算。例7(2002·四川省小学生数学夏令营)计算：2912×23＋3913×34＋4914×45＋5915×56。[完全解题]题目中每组两个因数中的第一个因数接近一个整十数，并且这个整十数正好是第二个因数分母的倍数。利用约分的方法进行简便计算。原式＝(30－12)×23＋(40－23)×34＋(50－34)×45＋(60－45)×56＝30×23－12×23＋40×34－23×34＋50×45－34×45＋60×56－45×56＝20＋30＋40＋50－(13＋12＋35＋23)＝140－2110＝137910[技法点睛]当一个数接近整十、整百……时，可以先将其看作整十、整百数……，然后再利用乘法分配律进行简便计算。例8(2002·我爱数学少年夏令营)计算：1111()11213141×1111()21314151－11111()1121314151×111()213141。[完全解题]111111213141＝A，111213141＝B，然后利用乘法的分配律进行简便计算。5原式＝A×(B＋151)－(A＋151)×B＝AB＋151A－AB－151B＝151×(A－B)＝151×[1111()11213141－111()213141]＝151×111＝1561[技法点睛]在运用乘法分配律进行计算时，可以将若干个数的和看作一个整体，为使计算过程简便，可以将相同的一组数用字母代替。创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！一、选择题。(每题5分，共20分)1.(2003·小学数学奥林匹克预赛)3.51×49＋35.1×5.1＋49×51的结果是()。A．285B．2850C．285002.(2003·天津市数学学科竞赛)1.1＋1.91＋1.991＋…＋10091.99991个的结果是()。A.10020.10001个0B.100201.0001个0C.1002010.0001个03.(2003·浙江省小学数学活动课夏令营)99×43＋98×42＋97×41的结果是()。A.1235B.12350C.1235004.(2003·小学数学奥林匹克预赛)0.7×149＋234×15＋0.7×59＋14×15的结果是()。A.46.4B.464C.4.64二、填空题。(每题5分，共20分)1.(2003·广东省小学六年级数学竞赛)1777×10＋1777×9＋1777×8＋…＋1777×2＋1777＝。2.(2003·天津市数学学科竞赛)1.1＋3.3＋5.5＋7.7＋9.9＋11.11＋13.13＋15.15＋17.17＋19.19＝。3.(2004·小学数学奥林匹克预赛)(212003×958＋720022003×9.625)÷9614＝。4.(第一届“陈省身”杯数学邀请赛)85.42×7903.29－286.5×790.329＋79032.9×4.323＝。三、解答题1.(1＋13＋14)×(13＋14＋13)－(1＋13＋14＋15)×(13＋14)2.76×(123－153)＋23×(153＋176)－53×(123－176)3．(4119－117)×(17＋18＋19)－4×(17－18＋19)＋(17＋18＋19)×(117－119)第二节约分法探究目标1.能够利用约分的方法直接将分子、分母中公有因式进行月份从而达到简便计算的目的。2.能够灵活地根据四则运算的性质将分子、分母转化、改写、变形等，找出其公有的因式，达到用约分法简便计算的目的。3.进一步提高分析、抽象、概括的能力。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！例有2000个桃子，猴王分给一批猴子吃，第一天吃了总数的12，第二天吃了余下的13，第三天吃了第二天余下的14，以后每天都吃前一天余下的15、16、17、…、12000。最后还剩下多少个桃子？建议：1.先找出每天吃的相当于总数的几分之几。2．通过列式探索其中的规律。讨论：1．每天吃的都是前一天余下的几分之几，所以，可以依次进行乘法计算剩余的数量。2．前一天分数的分母与后一个分数的分子正好能约掉。证明：第一天吃了以后还余下2000×(1－12)，第二天吃了以后还余下2000×(1－12)×(1－13)，依此类推，一直到吃去前一天的12000后还余下2000×(1－12)×(1－13)×…×(1－12000)。2000×(1－12)×(1－13)×…×(1－12000)＝2000×12×23×34×45×…×19992000＝2000×12000＝1(个)所以最后还剩下1个桃子。例1计算：1.22.33.44.55.66.7122334455667。[完全解题]题中的分子部分每一个加数都是分母中每一个相应加数缩小10倍的结果，可将分母部分处理成(1.2＋2.3＋3.4＋4.5＋5.6＋6.7)×10，而分子部分可写成(1.2＋2.3＋3.4＋4.5＋5.6＋6.7)×1这样就可将公有的(1.2＋2.3＋3.4＋4.5＋5.6＋6.7)约去。1.22.33.44.55.66.7122334455667＝1.22.33.44.55.66.711.22.33.44.55.66.710＝110[技法点睛]本题中的分子与分母只是小数位数的不同，可以利用乘法分配率将其整理。例2计算：(927＋729)÷(57＋59)。[完全解题]利用927＋729＝657＋659＝65×(17＋19)57＋59＝5×(17＋19)这样分子分母中就有相同的因式(17＋19)。(927＋729)÷(57＋59)＝(657＋659)÷(57＋59)＝1165()79115()79＝13[技法点睛]本题中的被除数与除数中分数部分的分母是相同的，可以利用乘法分配率将其写成若干个分数单位和的形式。例3计算：123456787654321888888888888[完全解题]1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝8×8这样可与分母部分的888888×888888约分。123456787654321888888888888＝88888888888888＝1111111111111＝112345654321[技法点睛]本题中的分子具有一定的规律，正好是8个8的和，所以分子与分母可以进行约分。例4计算：199319921994199319941[完全解题]分子分母中没有公有的因式可以直接约。但通过观察分子分母中数的特征，可以转化为两种：一是将分子变化，1993＋1992×1994＝1994－1＋1992×1994＝1994×1993－1;二是将