等差数列求和课件

1.等差数列的定义：1(2)nnnaaadn是等差数列2.通项公式：1(1).naand3.重要性质:().⑴nmaanmd.⑵mnpqmnpqaaaa一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做公差高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。高斯“神速求和”的故事:一、引入高斯答：1+2+3+4+…+97+98+99+100=101101101=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)=50×101=5050怎样求一般等差数列的前n项和呢？12,.nnnnanSSaaa设等差数列的前项和为即12321.nnnnSaaaaaa12321.nnnnSaaaaaa1211212()()()()nnnnnSaaaaaaaa1().nnaa1().2nnnaaS二、探究倒序相加法公式11().2nnnaaS公式211)2nnnSnad（1(1)naand----例1：求等差数列13，9，5，1,3，...的前20项之和.1().2nnnaaS11)2nnnSnad（----50例3：等差数列13,9，5，1，...的前多少项的和等于？120204810128106,.(2)10,22,32,17,209,nnnaaaSaaSaaSnd例：在等差数列中：(1)若,求若求；求与。巩固与提高3.在等差数列{an}中，已知a6+a9+a12+a15=34，S20=————4、在数列{an}中，Sn=n2-n，则a10=______5、在等差数列{an}中，S6=9，S9=36，则a7+a8+a9=_______1.在等差数列{an}中，a2+a9=30，求S10=———2.在等差数列{an}中，已知a7=20，S13=——15026017027nS=4n+3n,n、已知数列的前项和公式为求这个数列的通项公式。2)1(1dnnnaSn21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa21{}(,nnanbnab性质：数列a为等差数列S为常数）n101001101{}10=100=.a例：已知等差数列的前项和S，前100项和S10，求前110项的和S2,-=.2,-=.nnSSdSSana奇偶奇中中偶性质：若等差数列的项数n为偶数则若等差数列的项数n为奇数则,S例1：已知某等差数列共有10项，奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为_______32323,,nmmmmmaSSSSS性质：若数列为等差数列，则数列，...也是等差数列。1m1003m例：在等差数列中，前m项的和为30，前2项的和为，求前项的和。等差数列的前n项的最值问题14{}21,2.(1)0?(2)nnaada例：数列是等差数列，从第几项开始有求此数列的前n项和的最大值？111101112310118610max2210,2010,0......nadaSSSSSSSS又由知a拔高题n16{}(1)1111=++...+122334(1)nnnSnn例、数列的前项和:1359912341001=...60,2..._______aaaaaaaaa5、已知等差数列中，d，则等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－20,a1=130∴a70,a80求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.21()22nddSnan方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥0求得.练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2d0nd1nnaa－(m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质5:为等差数列.{}nSnan1nn2121nnST例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为.－110例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab556463ab146823nnanbn等差数列{an}前n项和的性质的应用例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=.510153等差数列{an}前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d013a1+13×6d02437d等差数列{an}前n项和的性质(2)∵11(1)2nSnannd1(122)(1)2ndnnd25(12)22ddnn∴Sn图象的对称轴为5122nd由(1)知2437d由上得51213622d1362n即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.练习1已知等差数列25,21,19,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.练习3：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值1.根据等差数列前n项和，求通项公式.1112nnnanaSSn2、结合二次函数图象和性质求的最值.ndandSn)2(2123.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2d0nd1nnaa－(m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质5:为等差数列.{}nSnan1nn2121nnST