数学的发展历史

数学发展史大致可以分为四个阶段一、数学起源时期二、初等数学时期三、近代数学时期四、现代数学时期一、数学起源时期（远古(4000年前)——公元前5世纪）这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。数学起源于四个“河谷文明”地域•非洲的尼罗河---埃及：几何的故乡•西亚的底格里斯河与幼发拉底河：巴比伦---代数的源头；•中南亚的印度河与恒河---印度：阿拉伯数字的诞生地•东亚的黄河与长江----中国•文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽记数•刻痕记数是人类最早的数学活动，考古发现有3万年前的狼骨上的刻痕。•古埃及的象形数字出现在约公元前3400年；•巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年；•中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年。•古埃及的纸草书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数学的内容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有“整勾股数”及二次方程求解的记录。莱茵德纸草书(1650B.C.)莫斯科纸草书)(322babahv古巴比伦的“记事泥板”中关于“整勾股数”的记载”（马其顿，1988年）20世纪在两河流域有约50万块泥版文书出土，其中300多块与数学有关（约公元前1000年）（文达，1982年）3500..BC古埃及陶罐西安半坡遗址•中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类活动，•那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、三角形、圆、长方形、菱形等。半坡遗址陶器残片半坡遗址房屋基础埃及—几何的故乡公元前20~17世纪，埃及已经积累了丰富的数学知识，其中包括算术（乘除法、分数）、几何、三角，以及有关一元一次方程、一元二次方程的求解问题、关于谷仓容积的测定、关于金字塔斜面倾角的计算等等。他们能求出长方形、三角形、梯形和圆形的面积，其中圆周率求至3.16。巴比伦—代数的源头会开平方、开立方，并有平方、平方根、立方和立方根表．知道二次方程的求根公式,知道了勾股定理，能测量不规则形面积和截顶角锥体的体积，并推算出圆周率的近似值为。印度—阿拉伯数字的诞生地印度数学的发展晚于埃及、巴比伦、希腊和中国．印度人的特殊贡献有：阿拉伯数字是印度人的发现，他们大约在公元前4世纪就开始使用这种数字，直到公元8世纪才传入阿拉伯国家，后经阿拉伯人传入欧洲．用符号“0”表示零是印度人的一大发明．813中国的《周髀算经》（公元前200年成书）宋刻本《周髀算经》，（西周，前1100年）（上海图书馆藏）《周髀算经》中关于勾股定理的记载二、初等数学时期（前6世纪——公元16世纪）也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。这一时期按照地域又分为三个阶段：古希腊；东方；欧洲文艺复兴。1．古希腊•（前6世纪——公元6世纪）在公元前7~5世纪的古希腊，数学知识是从埃及传到那里的。古希腊最早的数学家可能是泰利斯。据说他提出并证明了下列几何学基本命题：圆为它的任一直径所平分；半圆的圆周角是直角；等腰三角形两底角相等；相似三角形的各对应边成比例；若两三角形两角和一边对应相等则两三角形全等。几何的系统论述出现在公元前5世纪，德谟克利特提出了对于他那个时代相当深刻的、包含积分萌芽思想的一些论断。不可公度线段的发现及随之建立起来的不可公度比的理论，是希腊数学的巨大成就。这种逻辑构造方法，显然超出了经验知识的范围，是纯数学最后定形的标志。古希腊人对数学似乎有特别大的兴趣，尤其是在几何学方面。这在一定程度上应当归功于毕达哥拉斯派和柏拉图，他们都是数学的崇拜者和鼓吹者。据说柏拉图在他所创办的学园的门口上写着：“不懂几何学者不得入内”。据说，欧几里得几何学中关于平行线、三角形、多边形、圆、球和正多面体的许多定理，实际上都是毕达哥拉斯派的成果。公元前5世纪，在希腊曾存在过一个被称为智者派的哲学派别，他们之中有一些数学家提出了三个著名的几何作图难题：即只用圆规和直尺，（1）作一正方形使其面积等于一已知圆的面积；（2）作一立方体使其体积等于一已知立方体的两倍；（3）三等分一任意角。毕达哥拉斯(公元前580年～公元前500年)“万物皆数”TheSchoolofAthensbyRaphael这是“拉斐尔(意大利艺术大师（RaffaelloSanzio，1483-1520）)画室”第二房间左面的壁画“雅典的学院”（SchoolofAthens/Scolad’Atene），617×219cm，1510-1500年完成；它在上面那幅壁画“圣事争论”的对面；画面以表现古代雅典柏拉图的学苑（Academy/Academia）为背景，将地中海沿岸各国的古今著名学者熔于一炉；学者们的姿态以当时的“七艺”（语法、修辞、逻辑、数学、几何、音乐和天文）而各具情态。背景大厅两侧的壁龛雕塑，左面是阿波罗，右面是雅典娜。柏拉图与亚里士多德倡导逻辑演绎的结构五条公理1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分。五条公设1.过两点能作且只能作一直线；2.线段(有限直线)可以无限地延长；3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；4.凡是直角都相等；5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。(Euclid,公元前330年～前275年)各卷简介第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是最重要的数学杰作之一第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190）《圆锥曲线论》托勒密丢番图三角学不定方程《砂粒计算》是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。《球与圆柱》熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的1.5倍。《圆的度量》，利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率π为：22/7π223/71，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的等腰三角形的面积（使用的是穷竭法）。阿基米德《抛物线求积法》研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。《论螺线》是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。《平面的平衡》是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。《浮体》，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。《论锥型体与球型体》讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。阿基米德的理论为几何和微积分的开创写下了不可磨灭的一章阿基米德的墓碑上刻的图此后是千余年的停滞•随着希腊科学的终结，在欧洲出现了科学萧条，数学发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家．在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间，数学主要由于计算的需要而发展．印度人发明了现代记数法（后来传到阿拉伯，从发掘出的材料看，中国是使用十进制最早的国家），引进了负数．•到了16世纪，欧洲文艺复兴时代，欧洲人向阿拉伯学习，并根据阿拉伯文的翻译熟识了希腊科学，从阿拉伯沿袭过来的印度记数法逐渐在欧洲确定下来，欧洲科学终于越过了先人的成就．2．东方（公元2世纪——15世纪）•中国：西汉（前2世纪）—宋元时期（公元10世纪—14世纪）•印度：公元8世纪—12世纪•阿拉伯国家：公元8世纪—15世纪1）中国西汉（前2世纪）——《周髀算经》、《九章算术》魏晋南北朝（公元3世纪——5世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算《九章算术》是我国第一部最重要的数学专著，大约成书于东汉初期（公元1世纪）。书中载有246个应用题目的解法，涉及算术、初等代数、初等几何等多方面的内容。其中所载述的分数四则运算、比例算法、用勾股定理解决一些测量中的问题等，都是当时世界最高水平的工作。关于负数的概念和正负数加减法则的记载是世界上最早的。书中还讲述了开平方、开立方、一元二次方程的数值解法、联立一次方程解法等许多问题。“中国古代数学第一人”刘徽（约公元3世纪）割圆术第24届“国际数学家大会”（ICM）InternationalCongressofMathematicians为2002北京“国际数学家大会”发行的纪念邮资明信片JP108该会标的涵义？第24届“国际数学家大会”会标宋刻本《周髀算经》，（上海图书馆藏）《周髀算经》中的“勾股定理”（约公元前700年）《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”中国数学史上最先完成勾股定理的证明赵爽(东汉末至三国时代,生平不详，约生活于公元3世纪)研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周牌算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。其中的弦图相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。勾股定理•将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”•证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”祖冲之（公元429-500年）宋元时期（公元10世纪——14世纪）宋元四大家——李冶（1192～1279）、秦九韶（约1202～约1261）、杨辉（13世纪下半叶）、朱世杰（13世纪末～14世纪初）天元术、正负开方术——高次方程数值求解；大衍总数术——一次同余式组求解杨辉秦九韶程序秦九韶程序是中国南宋时期的数学家秦九韶最先提出的一种解一元高次方程的算法-正负开方术。后来在西方被十九世纪初英国数学家威廉·霍纳重新发现，被称作霍纳算法。霍纳在1819年发表《解所有次方程》论文，被评为“必使发明人因为发现此算法而置身于重要发明家之列”。秦九韶的《数书九章》“贾宪三角”，卷一“大衍总数术”也称“杨辉三角”朱世杰的《四元玉鉴》四元高次方程组，（天、地、人、物——x、y、z、w）（“天元基金”）2）印度现代记数法（公元8世纪）——印度数码，有0，负数；十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）数学与天文学交织在一起阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元499年）开创弧度制度量婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世纪