高考直线方程题型归纳

高考直线方程题型归纳知识点梳理1．点斜式方程设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为y－y0=k(x－x0)，由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l的倾斜角α=90°时，斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线l上每个点的横坐标都等于x0，所以此时的方程为x=x0.（2）当直线l的倾斜角α=0°时，k=0，此时直线l的方程为y=y0，即y－y0=0.（3）当直线l的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b)且斜率为k，则直线的点斜式方程为y=kx+b其中k为斜率，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x=2在y轴上就没有截距，即只有不与y轴平行的直线在y轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的函数，当k=0时，该函数为常量函数.x=b；当k≠0时，该函数为一次函数，且当k0时，函数单调递增，当k0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1≠x2)，则直线l的方程为112121yyxxyyxx，这种形式的方程叫做直线的两点式方程.注意（1）当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时，不能用两点式112121yyxxyyxx表示它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1)(x－x1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程；如过两点A(1，2)，B(1，3)的直线方程可以求得x=1，过两点A(1，3)，B(－2，3)的直线方程可以求得y=3.（3）需要特别注意整式(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1)(x－x1)与两点式方程112121yyxxyyxx的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。4．直线的截距式方程若直线l在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b，且a≠0，b≠0，则直线l的方程为1xyab，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。注意：（1）方程的条件限制为a≠0，b≠0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；（2）用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；（3）要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，但不可为零。截距式方程的应用（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a|+|b|+22ab；（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S=1||2ab；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k=－1或直线过原点，常设此方程为x+y=a或y=kx.5．直线方程的一般形式方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做直线的一般式方程.注意（1）．两个独立的条件可求直线方程：求直线方程，表面上需求A、B、C三个系数，由于A、B不同时为零，若A≠0，则方程化为0BCxyAA，只需确定,BCAA的值；若B≠0，同理只需确定两个数值即可；因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；（2）．直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。（3）．在一般式Ax+By+C=0（A、B不全为零）中，若A=0，则y=CB，它表示一条与y轴垂直的直线；若B=0，则CxA，它表示一条与x轴垂直的直线.6.直线方程的选择（1）待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法，但要注意选择形式，一般地已知一点，可以待定斜率k，但要注意讨论斜率k不存在的情形，如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等；（2）直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵活选用恰当的直线形式求直线方程。请参看下表：直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线已知一个定点和斜率k已知一点，可设点斜式方程斜截式不能表示与x轴垂直已知在y轴上的截距的直线已知斜率，可设斜截式方程两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线已知两个定点已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的的直线已知两个截距已知直线与坐标轴围成三角形的面积问题可设截距式方程一般式能表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程典型例题剖析题型1．直线的点斜式方程例1．一条直线经过点M(－2，－3)，倾斜角α=135°，求这条直线的方程。例2．求斜率为33，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点M(3，－1)；（2）在x轴上的截距是－5.题型2．直线的斜截式方程例3．若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（）（A）A、B、C同号（B）AC0，BC0（C）C=0，AB0（D）A=0，BC0例4．直线y=ax+b(a+b=0)的图象是（）例5．写出过下列两点的直线方程，再化成斜截式方程.（1）P1(2，1)，P2(0，－3)；（2）P1(2，0)，P2(0，3)。例6．三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.题型4．直线的截距式方程例7．已知直线的斜率为61，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程。例8．过点A(1，4)且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4题型5．直线的一般式方程例9．已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－34，求直线的点斜式和一般式方程.例10．把直线l的方程x－2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.题型6.定点问题例11、已知直线所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{}的第一项与第二项，若，数列的前n项和为Tn，则T10=（）A.B.C.D.题型7.对称问题例12、已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.B．－C．2D．－2例13、直线关于直线对称的直线方程是（）A．B．C．D．例14、直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_________例15.(1)求点A(3,2)关于点B(－3,4)的对称点C的坐标；(2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；(3)求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．题型8.最值问题例16、若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是()A．2B．2C．4D．2例17、直线与直线互相垂直，则的最小值为（）A．1B．2C．4D．5例18.过点P(1，2)作直线l，交x，y轴的正半轴于A、B两点，求使△OAB面积取得最小值时直线l的方程.题型9．创新问题例19．已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2，3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程.例20、已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0,1)B.C.D.例21、在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；③到M（0，﹣2），N（0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0；④直线y=x+1上的点到N（0，2）的“折线距离”的最小值为1．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例22、已知两定点M（-2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得，则该称直线为“A型直线”.给出下列直线：①，②，③，④，其中是“A型直线”的序号是.例23、已知直线l：(A，B不全为0)，两点，，若，且，则（）A．直线l与直线P1P2不相交B．直线l与线段P2P1的延长线相交C．直线l与线段P1P2的延长线相交D．直线l与线段P1P2相交例24.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．试求y＋3x＋2的最大值与最小值．强化训练1．下列说法中不正确的是（）（A）点斜式y－y0=k(x－x0)适用于不垂直于x轴的任何直线（B）斜截式y=kx+b适用于不垂直x轴的任何直线（C）两点式112121yyxxyyxx适用于不垂直于坐标轴的任何直线（D）截距式1xyab适用于不过原点的任何直线2．直线3x－2y=4的截距式方程为（）（A）3142xy（B）11132xy（C）3142xy（D）1423xy3．过点(3，－4)且平行于x轴的直线方程是；过点(5，－2)且平行于y轴的直线方程是。4．过点P(1，3)的直线分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，求直线的方程.5．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)，求：（1）△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；（2）BC边的中线的一般式方程，并化为截距式方程.6．如果AC0，BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限7．直线l过点P(1，3)，且与x，y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是（）（A）3x+y－6=0（B）x+3y－10=0（C）3x－y=0（D）x－3y+8=08．若直线(2m2+m－3)x+(m2－m)y=4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是（）（A）1（B）2（C）－21（D）2或－219．已知直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，点P(x0，y0)在l上，则l的方程可化为（）（A）A(x+x0)+B(y+y0)+C=0（B）A(x+x0)+B(y+y0)=0（C）A(x－x0)+B(y－y0)+C=0（D）A(x－x0)+B(y－y0)=010．经过点(－3，－2)，在两坐标轴上截距相等的直线方程为11．若点(a，12)在过点(1，3)及点(5，7)的直线上，则a=.12．、在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：①存在正实数，使△的面积为的直线仅有一条；②存在正实数，使△的面积为的直线仅有两条；③存在正实数，使△的面积为的直线仅有三条；④存在正实数，使△的面积为的直线仅有四条.其中所有真命题的序号是.13、在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义：．已知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是．14（1）已知直线l：(2m2+m－3)x+(m2－m)y－4m+1=0，求m的取值范围#（2）如果ab0，bc0，那么直线ax－by－c必经过第几象限？