样条插值

样条插值在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。目录1定义2样条插值3线性样条插值4二次样条插值5三次样条插值o5.1三次样条的最小性o5.2使用自然三次样条的插值6示例o6.1线性样条插值o6.2二次样条插值7参见定义假设有n+1个不同的节点xi以及n+1个节点值yi，我们要找到一个n阶样条函数其中每个Si(x)都是一个k阶的多项式。样条插值使用多项式插值，对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1个自由度。线性样条插值线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。从代数的角度来看，每个Si都是一个如下的线性函数。样条在每个数据点都必须连续，即我们很容易得到所以以上论述成立。二次样条插值二次样条插值可以构建为通过选择z0，然后用递推关系就可以得到系数：三次样条插值对于n+1个给定点的数据集{xi}，我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果表示对函数f进行插值的样条函数，那么需要：插值特性，S(xi)=f(xi)样条相互连接，Si-1(xi)=Si(xi),i=1,...,n-1两次连续可导，S'i-1(xi)=S'i(xi)以及S''i-1(xi)=S''i(xi),i=1,...,n-1.由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成S的n个三次多项式来说，这就意味着需要4n个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了n+1个条件，内部数据点给出n+1−2=n−1个条件，总计是4n−2个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。其中一项选择条件可以得到给定u与v的钳位三次样条，另外，我们可以设.这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。如果选择另外一些条件，可以得到周期性的三次样条。如果选择，可以得到complete三次样条。三次样条的最小性三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在索伯列夫空间H2([a;b])最小化函数的函数。函数J包含对于函数f(x)全部曲率的近似，样条是f(x)最小曲率的近似。由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到n个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。使用自然三次样条的插值它可以定义为以及.通过解下面的方程可以得到它的系数。示例线性样条插值假设要为带有节点的函数找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条：样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示：二次样条插值下图是一个k=4的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子：参见三次埃尔米特样条NURBS