微机原理第五章课后习题答案

第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析习题与解答5.3试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。1123xx解由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普诺夫第一方法比较合适。经计算知矩阵1123的特征根为230。由于第一方法关于线性系统稳定性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。5.11利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：1123xx解令矩阵11121222ppppP则由TAPPAI得1112111212221222121110132301pppppppp解上述矩阵方程，有11111211122222122212742413420826158pppppppppp即得1112122275485388ppppP因为111211122275717480detdet05346488ppPpp可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为T221122TT22121()(14103)08()()0VxxxxVxxxxPxxxQxxx又因为lim()Vxx，所以系统在原点处大范围渐近稳定。5.12给定连续时间的定常系统1222122(1)xxxxxx试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。解易知(0,0)为其唯一的平衡状态。现取2212()Vxxx，则有：2212(i)()0Vxxx121221221222222()()(ii)()22(1)2(1)xVxVxVxxxxxxxxxxxx容易看出，除了两种情况：（a）1x任意，20x（b）1x任意，21x时()0Vx以外，均有()0Vx。所以，()Vx为负半定。（iii）检查0((;,0))Vtx是否恒等于零。考察情况（a）：状态轨线T01(;,0)(),0txtx，则由于2()0xt，可导出2()0xt，将此代入系统的方程可得：12222211()()00()(1())()()()xtxtxtxtxtxtxt这表明，除了点（120,0xx）外，T01(;,0)(),0txtx不是系统的受扰运动解。考察情况（b）：T01(;,0)(),1txxt，则由2()1xt可导出2()0xt，将此代入系统的方程可得：12222211()()10()(1())()()()xtxtxtxtxtxtxt显然这是一个矛盾的结果，表明T01(;,0)(),1txxt也不是系统的受扰运动解。综上分析可知，0((;,0))0Vtx。（iv）当2212xxx时，显然有2()Vxx。于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。