向量法求空间点到平面的距离

向量法求空间点到平面的距离BAOn新课导入：我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。距离？、空间中如何求点到面一、复习引入：1、直接做或找距离；方法1、等体积法；方法2、空间向量。方法3的夹角）与为、向量数量积公式bbabaa(cos2离向量法求点到平面的距二、新课的长度。线段的距离就是到平面则点，垂足为平面、剖析：如图，BOBOBO,1BAOn。的距离为到平面量的方向，可以得到点考虑到法向的法向量为如果令平面中，的任一条斜线段，则在是平面、若n,,cost2nABBOBnBOBOBABOBABOBABAABOBABOBOARAB面距离。的模，即可求出点到平的绝对值再除以法向量对应的向量的数量积）求出法向量与斜线段面的一个法向量；（）求出该平量；（任一条斜线段对应的向出从该点出发的平面的）找下三个步骤：（面的距离，可以分为以、因此要求一个点到平3213思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量?例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.例2、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.DABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),B(2,0,0)EFEGE设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyz220242011(,,1)33nEFnEGxyxyn，|BE|21111ndn都行，或者择点评：斜线段也可以选BGBF练习1解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),练习2、如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求点P到面PBC的距离.(2,1,0),AB(2,0,0),CB(0,1,1)CP,设平面PBC的法向量为(,,)nxyz,zxy(,,)(2,0,0)0(,,)(0,1,1)0xyzxyz∴0xyz令1,y(0,1,1)n,d=22则00nCBnCP）的距离。（答案到平面，求点，且，若棱长平面平面中课下作业、在三棱锥1339301,0dABCDBADABADCDACACDABDACDB可求出点到平面距离。再除以法向量的模，即绝对值对应的向量的数量积的）求出法向量与斜线段（向量；）求出该平面的一个法（的向量；面的任一条斜线段对应）找出从该点出发的平（步骤：离，可以分为以下三个要求一个点到平面的距面的距离小结：向量法求点到平321