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第5章BCS理论许祝安凝聚态物理所教12-424,87953255参考书:章立源超导物理张裕恒超导物理1提要1.指向BCS理论的主要实验事实2.Cooper对与电-声相互作用3.BCS理论:T=0,基态波函数基态能量能隙BCStheory:Bardeen,CooperandSchrieffer,19572IntrodutiontoBCStheoryBardeen、Cooper、Schrierfer理论(BCS理论),19571986年发现的铜氧化物超导体的超导电性不能用BCS理论解释31972Nobel物理学奖指向BCS的实验:同位素效应Thisindicatesthatlatticevibrationsareapartofthesuperconductingprocess.ThiswasanimportantclueintheprocessofdevelopingtheBCStheorybecauseitsuggestedlatticecoupling,andinthequantumtreatmentsuggestedthatphononswereinvolved.~0.51950EMaxwell&CAReynolds4同位素效应M~晶格的离子质量~晶格振动频率(Debye温度)DM晶格振动频率Tc电-声子相互作用的重要性Frohlich提出一个基于电-声子相互作用的超导理论,但是解释不了Meissner效应.5超导能隙电子比热测量:Ces∝exp(-/kBT)证明超导基态与准粒子激发之间存在能隙比热实验给出:2~3kTc微波吸收实验:发现f1013Hz,表面阻抗R~RN(T~0K)f1010Hz,R~0在之间出现某种量子过程.吸收能量才能进入激发态,暗示的能隙的存在.h0~20:临界频率,0开始强烈吸收电磁波(微波或者红外频谱)6微波吸收实验h0~20:临界频率,0开始强烈吸收电磁波(微波或者红外频谱)“吸收边”7建立微观理论应考虑的基本实验事实1.零电阻,2.Meissner效应3.超导态电子比热的指数规律4.T=Tc相变时,电子比热有跳变5.微波的吸收边6.同位素效应7.Pippard非局域效应8.N-S之间的界面能9.N-S相变前后晶体结构没有变化8Cooper对Cooper的双电子模型:在费密海的背景下,只要费密面上的两个电子之间存在净的相互作用,无论这个吸引作用多么小。都可以形成电子对束缚态。假设:在T=0K条件,把2个额外的电子加到一个金属中,这两个电子必然处在费密球的外面,只能占据的kkF的状态,其能量也大于EFNote:我们假设了这两个电子动量大小相等,方向相反。9)(21rrV代表两个电子之间的有效吸引势1011或者'||)~,(''kVkVVkkkkmkk22动能OrmFkkkk|'||,|满足mkeV0.1~,:)(2222DcccFmkkm截断频率1213EENFDF222ln)0(2114VNEEFDF)0(2222ln))0(2exp(222VNEEFDF))0(2exp(222VNEEDFF15VNDFeE)0(/2221))0(2exp(222VNEEDFF电子对的能量VNDe)0(/2216Cooper对•在费米海背景下,两电子间任意弱的吸引势都可以造成束缚态.•泡利不相容性是促成电子凝聚的必要因素.•存在吸引势,费密海必然是不稳定的,要出现新的基态(能量更低的状态):超导态17181920Cooper对利用测不准关系估计Cooper对大小cFkTvppx~,~~cm10~~~~40cFFkTvvpx21电子间相互吸引作用的起源电子间式如何产生相互吸引作用的?电子之间只存在库仑排斥作用:rerV2)(矩阵元2222''44)()()(qeqerderVrderVeVqVrqirkirkikk(取=1,归一化)kkq'2223介质的屏蔽效应Fermi-Thomas近似下有:2224)(skqeqVDsrrkTFereererV/22)(A1~1sDk24电-声子相互作用电子晶格极化电子之间有效吸引作用2526电-声子相互作用27电-声子相互作用两电子的初态:kiEkk2),,(能量两电子的终态:qkfEqkqk2),,(能量电声子作用Hep作为微扰,计算简并相互作用矩阵元:iHmEEEEmHfiHfepmimfmepindrect||)11(21||||28222)()(||2||qkqkqqindrectMiHfMq是电子发射或者吸收一个波矢为q的声子的单散射中的电-声子作用矩阵元引入kqk)(||2||222qqqindrectMiHf29)(||2||222qqqindrectMiHf如果Dq则上述作用为负,即吸引相互作用。与电子跃迁相对应的频率要小于晶格振动的特征频率D,才能通过声子产生电子间的相互吸引作用。电子与其它元激发耦合也是可能达到这种吸引相互作用的。例如:激子,自旋波等。30零温度的BCS理论BCS理论的基本假设:超导电性的基本特征是由Cooper两体关联(对关联)所引起的,而取总动量为零以及自旋单态的电子对的波函数来处理这种二体关联问题。BCS提出的超导电性的判据是:04||22222sqqkqeMV-V0即存在净吸引势,形成Cooper对。31引入二次量子化算符:分别代表电子的产生和湮灭算符。(k:动量,:自旋)满足Fermi子的对易关系:,*,,kkCC0],[],[',',''*',',kkkkkkCCCC注意:[A,B]+=AB+BA定义单粒子数算符:,*,,kkkCCn32BCS在Cooper问题的基础上把超导基态设想成只由单电子态的配对所形成,也就是说,在超导基态中,只包含单电子态是成对地占据,或者成对地空着的位形(configurations).若被占据,则也一定被占据;反之,若是空态,则也一定是空态。kkkkBCS引入一组“对”产生算符:“对”湮灭算符:***kkkCCbkkkCCb33引入代表对态被占据的几率振幅,kvkku引入代表对态未被占据的几率振幅。kBCS波函数中,每一个动量k对应的波函数分解成两部分:1态标志为k的对态一定是被占据的;0态标志为k的对态一定是空态。01kkuv归一化要求:122kkuv34超导基态的总波函数就是这些对态的乘积:0*)(kkkkBCSbvu0表示“真空态”。35BCSHamiltonianBCS简化:在基态波函数中只包含动量空间中态是被成对低占据或者空着的位形,与此相应的相互作用位势为:',*'',',*'*''kkkkkkkkkkkkkkbbVCCCCVV)'(qkkBCSHamiltoniankkkkkkkkkkBCSbbVbbH',*'',*236求BCS基态波函数:一个对态:01kkuv二个对态:00'01'10'11'kkkkkkkkuuvuuvvv以这个波函数来计算BCS哈密顿量的能量WkkkkkkkkkkkBCSVvuvuvHW','''22||37对W求极小值来确定系数uk,vkkkkkhuhv1,22令则2/12/1'2/1''')]1([)21(2)]1([21)]1([2kkkkkkkkkkkkkkkhhhhhhhhVhW其中:2/1'''')]1([kkkkkkhhV38由得:0khW])(1[211])(1[212/12222/1222kkkkkkkkkkhuvh为完全求出和hk,还需要知道kBCS假定:other,0,,''ckkckkVV可以得到:(k,k’是从费米能算起的能量)other,0,,'ckkck39而满足方程:'2/122')(2kkV可见,k=与k无关,s-波。这样能隙方程简化为:'2/122')(211kkVcdVN02/122)()0(1变成积分:40Cooper对的平衡态分布cdVN02/122)()0(1取弱耦合极限,即N(0)V1,VNcceVN)0(12])0(1sinh[这样就可以得到hk随k的变化,如图(T=0K)4142与有限温度的费米分布函数类似,但hk是对占据的,是一种动量空间的有序态,对之间是相干的;费米分布函数是每个粒子占据数,相互是独立的.绝对零度下的BCS理论(2)超导基态能量43上节我们确定了hk,基态波函数确定,现在计算基态能量WkkkkkkkkkkkVvuvuvW','''22对于通常金属,从形式上看,如果超导能隙=0,则:0,00,1])(1[212/1222kkkkkkkvh(k能量从费米面算起)把hk带入W式中得到正常金属的费米海的能量。超导基态能量(T=0)44定义:Ks:代表超导基态的动能部分,KN:代表正常金属(费米海)的动能部分FFFFFFkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkNShhhhhhKK42)1(||22)1(222注意:1-h(-)=h(),即电子和空穴相对于费米面的分布是对称的。452202/12222/1222/122)0(21)()0(2)(12)(12144NVdNhKKCFFFkkkkkkkkkkkkkkNS利用了))0(1exp(2)0(1sinhVNVNCC弱耦合极限:C46计算位势部分的差别:','2/1''',''')]1()1([kkkkkkkkkkkkkkkkVhhhhVvuvuVdNhhhhhhhhVVVCkkkkkkkkkkkkkkkkkNS202222222/12/12/1'2/1''')0(121)]1([)]1([)]1([)]1([])(1[211])(1[212/1222/122kkkkkkkkhh超导基态能量(相对于费米海)47))0(2exp())(0(2)0(21)()(22VNNNVVKKWWCNSNSNS只要存在净的吸引相互作用,无论它多么弱,都会存在一个相干态,其能量比正常金属的基态能量低。2)0(21N就是超导态的凝聚能(T=0K)20221)0(21CHN§5.8T=0K的能隙48电子从超导基态激发出来需要一个不为零的最小能量:能隙。设想:向超导基态中注入一个不成对的电子,它处于态,其配对态则空着。1k1k根据泡利原理,不再参与配对相互作用,可以求出能量变化。),(11kkkkkkkkkkkkkVvuvuvW','''22超导基态:排除对态,能量增加:),(11kk1111112222211''''211kkkkkkkkkkkkkkvuvvuvuVv
本文标题:Ch5-BCS
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