对于多元函数泰勒展开

长江大学物理学院李新城[e-mail]长江大学物理学院李新城[e-mail]1电动力学中的泰勒展开问题物理系同学们在学习电动力学和量子力学的过程中会碰到对类似fxy展开的问题，初学者可能会对此类函数的展开感到困惑，对此，自己课下之余整理了一下，希望能对同学们的学习带来帮助。以下讨论主要针对的是电动力学中的极矩问题，源点与场点统一规定为用x和x来表示。对于多元函数泰勒展开，例如,fxy，有,fxy00,fxy0000,xxyyfxyxy200001,2!xxyyfxyxy（1）其中展开中心为00,xy.对于函数fxx，它是xx的函数，展开时需要指出其展开中心是源点x还是场点x.1若在0xx处展开，则fxx20000012!fxxxxxxfxxxxxxfxx=20000012!fxxxxfxxxxfxx(2)其中，ˆˆˆijkxxyyzz，下同.由于fxx是在x为小量的情况下展开的，为了计算方便，(2)式的0x可取为原点，即x=0，此时，(2)式便成为电势多级展开中常见的形式，即212!fxxfxxfxxfx(3)2若在0xx处展开，则同理可得fxx20000012!fxxxxxxfxxxxxxfxx=20000012!fxxxxfxxxxfxx(4)对在0xx处展开时，x此时是变化的，算符可换为对源点的算符.长江大学物理学院李新城[e-mail]长江大学物理学院李新城[e-mail]2即，='，代入(4)式得，fxx20000012!fxxxxfxxxxfxx(5)同理，若0x=0，(5)式变成为fxx212fxxfxxfx(6)但由于在一般情况下，源一般占有小空间，对场点展开的情况并不常见.总结：以上的推导过程较为仔细，目的就是为了能够帮助低年级的师兄弟们再熟悉一下所学过的泰勒公式，学物理的过程中要不断地为自己补充数学知识，有了较为完备的数学工具，才能让自己的物理知识有扩展下去的可能。