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【课标要求】1.理解正弦定理与三角形外接圆半径的关系，并熟练掌握正弦定理变形公式的应用.2.掌握三角形面积公式，并能熟练应用．自主学习基础认识|新知预习|1．正弦定理及其变形设三角形三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，则有(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(4)a：b：c＝sinA：sinB：sinC.2．三角形面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.|自我尝试|1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是()A.acosA＝bcosBB.ab＝sinAsinBC．asinB＝bcosAD．a＝bsinA解析：在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB，故选B.答案：B2．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12B.32C.3D．23解析：S△ABC＝12AB·AC·sinA＝32.答案：B3．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析：由S△ABC＝33＝12BC·CA·sinC＝12×3×4sinC得sinC＝32，又C为锐角．故C＝60°.答案：B4．已知△ABC的面积为3，且b＝2，c＝2，则A＝________.解析：由S△ABC＝12bcsinA，得sinA＝2S△ABCbc＝232×2＝32，所以A＝60°或120°.答案：60°或120°课堂探究互动讲练类型一正弦定理的变形应用[例1]在△ABC中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求b及△ABC外接圆的半径R.【解析】已知B＝30°，C＝45°，c＝1，由正弦定理，得bsinB＝csinC＝2R，所以b＝csinBsinC＝1×sin30°sin45°＝22，2R＝csinC＝1sin45°＝2，得R＝22.方法归纳应用正弦定理解决三角形问题的关键是对正弦定理正确变形，常见变形为边的比等于对角正弦比；任一边与其对角正弦的比等于外接圆直径．跟踪训练1如图所示，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：设圆O的半径为R，则2R＝ABsin∠ACB＝4sin45°＝42，所以R＝22.所以圆O的面积S＝πR2＝8π.答案：8π类型二三角形面积的计算[例2]在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．【解析】(1)因为3a＝2csinA，所以asinA＝2c3.由正弦定理知asinA＝csinC，所以csinC＝2c3，所以sinC＝32.因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.(2)因为c＝7，C＝π3，由面积公式得：12absinπ3＝332，即ab＝6.由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ3＝7，所以a2＋b2－ab＝7，即(a＋b)2－3ab＝7，所以(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.方法归纳(1)本题采用了整体代换的思想，把a＋b，ab作为整体，求解过程既方便又灵活．(2)三角形面积公式有多种形式，根据题中的条件选择最合适的面积公式．在解三角形中通常选用S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．跟踪训练2在本例中，把“锐角”去掉，其他条件不变．(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求a＋b的值．解析：(1)因为3a＝2csinA，所以asinA＝2c3，所以csinC＝2c3，从而sinC＝32.所以C＝π3或2π3.(2)当C＝π3时，由面积公式知12absinπ3＝332，即ab＝6，又由余弦定理，得a2＋b2－2abcosπ3＝7，所以a2＋b2－ab＝7.即(a＋b)2－3ab＝7，所以(a＋b)2＝25.所以a＋b＝5.当C＝2π3时，由面积公式得12absin2π3＝332，即ab＝6.又由余弦定理得a2＋b2－2abcos2π3＝7，所以a2＋b2＋ab＝7.即(a＋b)2－ab＝7，所以(a＋b)2＝13，所以a＋b＝13.类型三正弦定理的实际应用[例3]如图所示，货轮在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方向BC与正北方向夹角是140°，A处有一灯塔，BA与正北方向夹角是110°，在C处观察灯塔A，AC与正北方向夹角是35°，由B到C需航行半个小时，求C到灯塔A的距离．【解析】在△ABC中，BC＝40×12＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋35°＝75°，所以∠BAC＝75°.由正弦定理，得ACsin30°＝BCsin75°，所以AC＝BCsin30°sin75°＝10sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝406＋2＝10(6－2)(km)．即C到灯塔A的距离为10(6－2)km.方法归纳解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．跟踪训练3某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.2063米B．106米C.1063米D．202米解析：如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°，由正弦定理得AOsin45°＝20sin60°，所以AO＝2063(米)．故选A.答案：A|素养提升|1．正弦定理的变形公式正弦定理以下变形，可直接应用．(1)asinB＝bsinA；asinC＝csinA；bsinC＝csinB(交叉相乘)；(2)a＝bsinAsinB；sinB＝bsinAa；(3)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)；(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.2．利用正弦定理解三角形的步骤(1)两角与一边――→三角形内角和定理第三个角――→正弦定理另两边(2)两边与其中一边的对角――→正弦定理另一边对角的正弦值―→确定此角与其他的边和角|巩固提升|1．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则A＝()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：因为S＝12bcsinA＝32，所以12×2×3sinA＝32，所以sinA＝32，所以A＝60°或120°.故选D.答案：D2．在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为3，则asinA的值为()A.8381B.2393C.2633D．27解析：由12bcsinA＝3，得c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，故a＝13.所以asinA＝1332＝2393.答案：B3．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝53，△ABC的外接圆半径为3，则a＝________.解析：∵S△ABC＝12bcsinA＝53，bc＝20，∴sinA＝32.∵△ABC的外接圆半径为3，∴由正弦定理知asinA＝23，∴a＝23sinA＝23×32＝3.答案：3