常微分方程第二章

第二章基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville）证明了里卡蒂（Riccati）方程)0)(()()()(2xpxryxqyxpdydx除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22yxdxdy就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题.本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(yxfdxdy（2.1）如果给出了初始条件00)(yxy，我们就得到了柯西初值问题00)(),(yxyyxfdxdy（2.2）这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(yxf在闭矩形区域byybyaxxaxR00002,:上满足如下条件：（1）在2R上连续；（2）在2R上关于变量y满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数N，使对于2R上的任何一对点),(yx和),(yx有不等式：yyNyxfyxf),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000hxhx上存在唯一解00)(),(yxxy其中),(max),,min(),(0yxfMMbahRyx.在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(yxf在闭矩形区域2R关于y的偏导数),(yxfy存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(yxfy有界，故设Nyxfy),(，对2),(),,(Ryxyx，由拉格朗日中值定理得：yyNyyxfyxfyxfy),(),(),(我们验证),(yxfy在闭矩形区域2R上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(yxfy在闭矩形区域2R上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(yxfy在闭矩形区域2R上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(yxfy在2R上连续),(yxfy在2R上存在且有界李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(xy的存在区间为],[0000hxhx，其中),(max),,min(),(0yxfMMbahRyx.为什么解的存在区间不是],[00axax呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R，方程的解)(xy不能超出2R的范围，又因为),(max),(yxfMRyx，所以MyxfM),(即MdxdyM由00)(yxyMdxdy和00)(yxyMdxdy得：001)()(yxxMxy，002)()(yxxMxy因此)()()(21xyxyxy，即)(xy夹在)(1xy与)(2xy之间.又，)(1xy与)(2xy在2R上的存在区间为],[0000hxhx，故)(xy的存在区间也是],[0000hxhx.2.1.2存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(xy，等价于求解积分方程xxdyfyy0))(,(0（2.3）事实上，如果)(xy是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(xxfx且00)(yx从0x到x积分得：xxdfyx0))(,()(0即)(xy是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(xy是积分问题（2.3）的解，即有xxdfyx0))(,()(0则00)(yx且))(,()(xxfx即)(xy是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列)(xn任取一个满足初值条件00)(yxy的函数)(0xy作为首项（初始项），并要求在2R上的存在区间为：],[0000hxhx，简单起见，取00)(yx，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x表示，并称为一次近似，即xxdfyx0))(,()(001再将)(1x代入方程（2.3）的右端就得到二次近似xxdfyx0))(,()(102序行此法，可以得到n次近似xxnndfyx0))(,()(10为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(Rxxn，即当],[0000hxhxx时，有,2,1)(0nbyxn下面用数学归纳法证明byxn0)(.显然，当],[0000hxhxx时，有byyyx0)(0000假设，当],[0000hxhxx时，有byxn01)(，那么，对于)(xn有xxnndfyx0))(,()(10从而有bMbMMhxxMdfyxxxnn00100))(,()(由数学归纳法知，当],[0000hxhxx时，有,2,1)(0nbyxn这样，我们就可以得到一个近似函数列)(xn.2、证明近似函数列)(xn在区间],[0000hxhx上一致收敛.由于无法得到)(xn的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列)(xn的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数)]()([)]()([)(1010xxxxxnn（2.4）它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101xxxxxxxSnnnn因此，证明)(xn的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000hxhx上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(xnxxdfxx0))(,()()(001即xxdyfyx0),()(001所以00010),()(xxMdyfyxxx因为xxdfyx0))(,()(001，xxdfyx0))(,()(102，所以xxdffxx0))(,())(,()()(0112由李普希兹条件，得!2)()()()(200011200xxMNdxMNdNxxxxxx下面用数学归纳法证明!)()(011nxxMNxxnnnn显然，2,1n的时候，不等式成立（上面已经给出），假设!)()(011nxxMNxxnnnn成立，那么对于1n的情形有)!1(!)()())(,())(,()()(100111000nxxMNdnxMNdNdffxxnnxxnnxxnnxxnnnn由数学归纳法知，对一切自然数n，均有!)()(011nxxMNxxnnnn又00hxx，所以级数（2.4）的通项满足：!)(011nhMNvxnnnn（,2,1n）利用比式判别法，可知以nv为通项的级数收敛，从而以)(xn为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(xn是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x，其存在区间也是],[0000hxhx.因此函数列)(xn就收敛于)(x.3、证明)(lim)(xxnn是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在xxnndfyx0))(,()(10两端取极限，得到xxnnnndfyx0))(,(lim)(lim10即xxdfyx0))(,()(0所以)(x是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman）不等式.贝尔曼引理设)(xy为区间],[ba上的非负连续函数，bxa0.若存在,00k，使得)(xy满足不等式],[,)()(0baxdykxyxx（2.5）则有],[,)(0baxexyxxk证明仅证明0xx的情形，0xx的情形类似.令)(xy的原函数为xxdyxR0)()(，代入（2.5）得)()(xkRxR两边同时乘以积分因子)(0xxke，得)()(00)]()([xxkxxkexkRxRe从0x到x积分得)()(00)(xxkxxkeexkR即)(0)(xxkexkR由（2.5）知，)()(xkRxy，所以],[,)(0baxexyxxk下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1xy和)(2xy，我们只需要证明：)(1xy)(2xy，],[0000hxhxx事实上，因为xxdyfyxy0))(,()(101，xxdyfyxy0))(,()(202所以有xxdyfyfxyxy0))(,())(,()()(2121由李普希兹条件知xxdyyNxyxy0)()()()(2121令Nkxyxyxy,0,)()()(21，由贝尔曼引理可知，0)(xy，即)(1xy)(2xy.这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列)(xn，其中首项为：00)(yx，递推关系式为：xxnndfyx0))(,()(10.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有101!)()()()(nkkknkkknkxxNNMxxxx0)!1()(!)!1()(!10001010NhnkkknnkkkenNhNMkhNnNhNMkhNNM2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(xqyxpdxdy其中)(xp和)(xq在区间],[ba上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域ybxaR,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(xqyxpyxf在2R上连续，而且)(),(xpyxfy在2R上也连续，所以),(yxf关于变量y满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[ba.3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是