2.4.1平面向量数量积

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0。|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则cos||)1(aeaae0)2(baba|;|||)3(bababa同向时，与当|;|||bababa反向时，与当特别地2||aaaaaa||或2a||||cos)4(baba||||||)5(babaOABθabB1||||cosababbabababa求求：已知例,43)2(;,//)1(2,11，分两种情况：）由解：（ba//1;2,baba同向，当。反向，当2,baba143cos212ba）（解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例2已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例3已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°=2OABθ|b|cosθabB1ba等于a的长度||a方向上的投影在ab与cos||b的乘积。θO投影||||cosababOθab||cosbab在上的投影：||cos0bOab||cos0bab||cos0b||cosaba在上的投影：||||cosabba数量积等于与投影的乘积。练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有22||aa√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba))(3()()())(2()1(其中，cba、、是任意三个向量，R注：)()(cbacba则(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.P116例4222||6,||4,b60,,(2)(3),(),||abaabababababab已知与的夹角为，求，||||cos12abab解:22||36aa22||16bb(2)(3)abab226aabb22||||||cos6||aabb722()ab222aabb22||2||||cos||aabb282||ab2()28ab||ab28272222()２思考　ａｂａｂａｂ　是一个常用的结论，如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？9例5已知ａ=７,ｂ=４，ａｂ求ａｂ.5.||3,||4,abkakbakb例已知当且仅当为何值时，向量与互相垂直？0abab例40abab()()0akbakb2220akb29160k34k小结：1.2.|||co|saabb0abab22||aa可用来求向量的模3.投影作业：)(,2432,1||||1cbacabacbakbakbababa求证：是非零向量，且、设的值。互相垂直，求也与且、若4、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a–5b垂直，a–4b与7a–2b垂直，求a与b的夹角。•解：∵（a+3b）⊥（7a–5b）（a–4b）⊥（7a–2b）∴（a+3b）·（7a–5b）=0且（a–4b）·（7a–2b）=0即7a·a+16a·b–15b·b=07a·a-30a·b+8b·b=0两式相减得：2a·b=b2，代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=最小？时，取何值，问夹角为与练习题：btatbaba0120,1