线性代数中的不变量

龙源期刊网线性代数中的不变量作者：涂自然贾小尧来源：《教育界》2010年第16期[摘要]本文从实际教学出发，尝试从不变量的角度来学习线性代数，并讨论了一些基本的不变量。[关键词]线性代数不变量线性代数作为数学专业的重要基础课之一，其基本思想和方法会延伸至后续的许多课程，因此学好线性代数是很有必要的。与数学分析相比较而言，线性代数的内容抽象，尤其对于初学者来说常常难以理解。那么如何在实际教学中取得理想的教学效果，是任课老师应该关注的重点。在教学过程中我们应注意从不变量的角度来看待线性代数，一方面让学生认识到数学的基本思想，另一方面有助于加深学生对整个内容的理解。提起不变量这个词，其实大家并不陌生，从小学开始我们就已经接触过不变量的概念了，如我们所熟悉的分数表示1/2、2/4争，这两个分数表示形式不同，但是实际上是相等的，那么数值就是一个不变量。这是不变量的一个极简单的例子。说到不变量，不得不提到数学对象的分类问题。数学对象可谓种类繁多，对其进行分类可以说是数学的一个核心问题，一个基本的方法就是不变量方法。所谓的不变量，就是在考虑的对象在某种变换或作用下保持不变的量，不变量取得好，那么得到的分类也就好。换句话说，分类问题可以大部分地归结为不变量的寻找问题。本文即从分类的角度出发，讨论线性代数中的不变量。先简单叙述一下分类问题的基本模式：设x={x1，x2，x3LL}是一个集合，在该集合上定义了一个作用，如果xgi=xi，则称属于同一个分类，我们需要解决的问题是，任给两个元素是否属于同一类?线性代数的主要研究对象是矩阵，我们关心的就是矩阵的分类问题，下面我们来逐一叙述。一、矩阵的秩矩阵的秩是一个重要概念，那么我们如何从不变量的角度来看待矩阵的秩呢?按照上述分类问题的基本模式，我们设X=Mman(￡)表示复数域上的man矩阵全体，而定义g：X→X为对X中的矩阵做初等行变化和初等列变化，我们来考虑在此作用下的分类问题。根据线性代数的知识我们知道，矩阵A，B∈X，且Ag=B，当且仅当A与B的秩相等，换句话说，矩阵的秩就是一类不变量。值得一提的是，这里A，B是否属于同一个分类完全由矩阵的秩决定，我们称这样的不变量为完全不变量。龙源期刊网二、实二次型的惯性指数对于实二次型，我们知道可以用矩阵的观点来研究它，二次型的非退化线性替换，就对应于实对称矩阵的合同变换。我们设X表示实数域i上的n级对称矩阵全体，g：X→X表示对实对称矩阵做合同变换。我们知道任何一个实对称矩阵都合同于如下形式的矩阵其中K，L分别称为正惯性指数和负惯性指数，换句话说，这里数对(K，L)就是实对称矩阵在合同变换下的不变量，且为完全不变量。三、矩阵的特征多项式与极小多项式矩阵的特征多项式和极小多项式是矩阵的重要概念。这里集合X表示复数域上的n阶方阵全体，集合X上的作用g：X→X定义为对X中的元素做相似变换。矩阵A，8∈X是否属于同一个分类即A，B是否相似?很显然如果A，B是相似的，那么二者有相同的特征多项式与极小多项式，但反之则不然，换句话说，这里特征多项式与极小多项式并非完全的不变量。四、行列式因子，不变因子，初等因子这里我们继续讨论矩阵的相似分类问题。上面我们提到矩阵的特征多项式和极小多项式不是矩阵相似的完全不变量，那么我们能否像一和二那样找到矩阵相似的完全不变量呢?答案是肯定的，行列式因子、不变因子和初等因子都是复矩阵的相似完全不变量。并且根据矩阵的初等因子，我们可以完全的定出矩阵的相似标准形，即Jordan标准形。需要指出来的是，不变量尤其是完全不变量的寻找是一项非常困难的工作，很多情况下我们只要能找到不变量就很不错了。龙源期刊网五、结束语