2.3.4平面与平面垂直的性质

新课导入平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。EDCAB平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：βααbβb面面垂直线面垂直2.3.4平面与平面垂直的性质（1）如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种可能？llαβ思考αβαβl（2）观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？（3）观察长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面AA'D'D与平面ABCD垂直，你能否在平面AA'D'D中找一条直线垂直于平面ABCD？ABCDABCD平面和平面垂直的性质定理如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。lAOB符号表示：bbbll面面垂直线面垂直αβPCA平面⊥平面β，点P在平面内，过点P作平面β的垂线PC，直线PC与平面具有什么位置关系？思考猜想：直线PC在平面内B已知：⊥β，∩β=AB，P∈，PC⊥β.求证：PC。αβPCABD过P做PD⊥AB，垂足为D。∵PD⊥AB，∴PD⊥面β。∵过一点只能做一条直线与平面垂直。∴PC与PD必重合，即PC在面α内。bβαa解:在内作垂直于与β交线的直线b。又∵a∵∴b⊥β(平面与平面垂直的性质定理)∵⊥β∴a//b(直线与平面垂直的性质定理)∴a//(直线与平面平行的判定定理)即直线a与平面平行。例4如图:已知平面α，β，⊥β,直线a满足a⊥β，a，判断直线a与平面的位置关系。⊥β结论：垂直于同一平面的直线和平面平行随堂练习1）若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于β()2)两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直()3)两平面互相垂直，分别在两平面内且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面垂直()4)两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，则此直线必垂直与另一个平面()×××√1判断已知两个平面垂直,则:5)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线6)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线7)一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面8)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面有可能平行,相交但不垂直,异面。可能平行,可能相交但不垂直,可能在平面内。(×)(√)(×)(√)PABCDE2.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD。（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角。2BCAB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC。ACBOPF.证明:∵AB是⊙O的直径∴AC⊥CB∴PA⊥BC∴BC⊥平面PAC∴平面PBC⊥平面PAC∴AF⊥平面PBC∵BC平面PBC∩又∵AF⊥PC,AF面PAC,面PBC∩面PAC=PC∩∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC∩例九课堂小结证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直面面垂直线面垂直平面和平面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。高考链接1（2008辽宁）如图，在棱长为1的正方体中，AP=BP=b（0b1），截面PQEF∥截面PQGH∥。(Ⅰ)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；(Ⅱ)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；(Ⅲ)若与平面PQEF所成的角为45°，求与平面PQGH所成角的正弦值.ABCDABCDADAD【解析】习题答案1.A.2.B.