高等数学2复习

1第七章常微分方程一、本章学习要求与重点和难点（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．了解二阶线性微分方程解的结构.4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.5．会求自由项为xmxPe)(或xxPxmcose)(，xxPxmsine)(时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.6.知道特殊的高阶微分方程（)()(xfyn，),(yxfy，),(yyfy）的降阶法.7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.二、主要解题方法1．一阶微分方程的解法例1求微分方程2ddddxyyxyxyy满足条件02xy的特解.解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有21dd11yyxyx两边积分，得21dd11yyxyx求积分得211ln1ln12yxC221ln1ln(1)2yxC，112222221(1)e1e(1)CCyxyx2记12e0CC，得方程的解221(1)yCx.可以验证0C时，1y，它们也是原方程的解，因此，式221(1)yCx中的C可以为任意常数，所以原方程的通解为221(1)yCx（C为任意常数）.代入初始条件02xy得3C，所以特解为2213(1)yx.例2求微分方程（1）yyyx，（2）22ecosxyxyx的通解.（1）解一原方程可化为dd1yyxyxx，令yux，则dd1uuuxxu，即21dduxuux，两边取积分2111()dduxuux，积分得1lnlnlnuxCu，将yux代入原方程，整理得原方程的通解为exyyC（C为任意常数）.解二原方程可化为d11dxxyy为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程d10dxxyy，得其通解为xCy.设()xCyy为原方程的解，代入原方程，化简得1()1()lnyCyyCyC3所以原方程的通解为1lnxyyC，即exyyC（C为任意常数）.（2）解这里2()2,()ecosxPxxQxx，代入通解的公式得22d2de(ecosed)xxxxxyxxC222=e(ecosed)xxxxxC22=e(cosd)e(sin)xxxxCxC（C为任意常数）.小结一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式()()yPxyQx，也可直接利用公式()d()de(()edPxxPxxyQxxC）求通解.2．可降阶的高阶微分方程例3求微分方程321xyxy的通解.解方程中不显含未知函数y，令d,dPyPyx代入原方程，得32d1dPxxPx微分方程3d11dPPxxx是关于未知函数()Px的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以11dd131()e(ed)xxxxPxxCxlnln131=e(ed)xxxCx41113211111(d)()CxxCCxxxxxx由此12d1dCyxxx112211()dlnCyxCxCxxx因此，原方程的通解为121lnyCxCx（12,CC为任意常数）.例4求微分方程22()(1)yyy满足初始条件112,1xxyy，的特解.解方程不显含x，令d,dPyPyPy，则方程可化为2d2(1)dPPPyy当0P时d2d1PyPy，于是21(1)PCy.根据112,1xxyy，知21yy代入上式，得11C，从而得到2dd(1)yxy，积分得211xCy，再由12xy，求得20C，于是当0P时，原方程满足所给初始条件的特解为11xy，当0P时，得yC(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解11xy中.故原方程满足所给初始条件的特解为11xy，即11yx.53．二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法例5求微分方程20yayy的通解.解原方程对应的特征方程为2221,224421012aararraa（1）当1a，即1a或1a时，特征方程有两个不相等的实根：22121,1raaraa，，故原方程的通解为22(1)(1)12eeaaxaaxyCC.（2）当1a，即1a或1a时，特征方程有两个相等的实根12rra故原方程的通解为12()eaxyCCx.（3）当1a，即11a时，特征方程有两个共轭复根21,2i1raa故原方程的通解为2212e(cos1sin1)axyCaxCax.4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法例6求微分方程4exyyx满足初始条件000,1xxyy，的特解.解对应齐次方程的特征方程为210r，特征根1,21r．故对应齐次微分方程的通解为12eexxcyCC.因为1是特征方程的单根，所以设特解为01()exPyxbxb6代入原方程得0102244bbbxx比较同类项系数得011,1bb，从而原方程的特解为(1)exPyxx故原方程的通解为12ee(1)exxxyCCxx，由初始条件0x时，0yy，得12120,2,CCCC从而121,1CC，.因此满足初始条件的特解为ee(1)exxxyxx.例7求微分方程248esin2xyyyx的通解.解对应的齐次微分方程的特征方程2480rr，特征根1,222ir.于是所对应的齐次微分方程通解为212e(cos2sin2)xcyCxCx为了求原方程248esin2xyyyx的一个特解,先求(22i)48e()xyyy的特解.由于22i是特征方程的单根，且()1mPx是零次多项式。所以设特解为(22i)exyAx，代入原方程，化简得(44i)8i4[(22i)]81AAxAAxAx比较同类项系数，得1i4i1,4i4AA所以，方程()的特解为22i1e(cos2sin2)e(icos2sin2)44xxyxxixxxx其虚部即为所求原方程的特解21ecos24xPyxx.因此原方程通解为722121e(cossin)ecos24xxyCxCxxx.小结在设微分方程()exmypyqyPx的特解时，必须注意把特解py设全.如：2()mPxx，那么2012()mQxbxbxb，而不能设20()mQxbx.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解py一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.5．用微分方程解决实际问题的方法例8已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.解设所求曲线方程为(),(,)yfxPxy为其上任一点，则过P点的曲线的切线方程为()YyyXx，由假设，当0X时Yx，从而上式成为d11dyyxx.因此求曲线()yyx的问题，转化为求解微分方程的定解问题1111xyyxy的特解.由公式()d()de(()edPxxPxxyQxxC，得11dde((1)ed)lnxxxxyxCxxCx代入11xy得1C，故所求曲线方程为(1ln)yxx.小结用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始条件和求解方程这几个主要步骤.由于问题的广泛性，一般建立微分方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等.三、学法建议1．本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法.82．本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求解法，读者首先要善于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座”，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下药”.同时，建议读者再做足够的习题加以巩固.3．有些方程需要做适当的变量替换，才能化为已知的类型，对于这类方程的求解，只要会求一些简单方程，了解变换的思路即可，不必花费太多精力.4．利用微分方程解决实际问题，不仅需要数学技巧，还需要一定的专业知识，常用的有切线、法线的斜率，图形的面积，曲线的弧长，牛顿第二定律，牛顿冷却定律等.读者应对这方面的知识有一定的了解.第八章多元函数微分法及其应用一、本章学习要求与重点和难点（一）学习要求1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元函数偏导数的概念.2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件.3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数.4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数.5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程.6．了解方向导数的计算.7.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值.8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题.重点二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方向向量,曲面的切平面和法向量,曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，方向导数的计算，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.难点二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系，多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.二、主要解题方法1．求二元函数定义域的方法例1求下列函数的定义域并画出定义域的图形.（1）22ln()1zyxyx，9（2）24xyzxy.解（1）要使函数有意义，需满足条件220,10,yxyx即221xyx.因此定义域为2yx与21yx围成的部分，包括曲线21yx.（2）要使函数有意义，需满足条件240,0,0,xyxyy即224,0,yxyx定义域如图所示24xyzxy的定义域另外，求函数时，也可把z看成两个函数214zxy与21zxy的乘积，214zxy的定义域是240xy，即2214,yxzxy，的定义域是0,0,xyy因此函数xOy2xy21xyy=x2yxOy2=4x1024xyzxy的定义域是1z与2z的定义域的公共部分，即224,0.yxyx小结多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同。即先考虑三种情况：分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是几个函数的代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分.2．求多元函数的偏导数方法例2设22ln(2)xzxyy，求,zzxy.解一令,2xuvxyy，原式可写成2lnzuv，