5.6正弦余弦定理和解斜三角形(一)

5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(一)10千米某林场为了及时地发现火情,在林场中设立了两个观测点A和B,B在A的正东方向10千米处。某日两个观测点都发现C处出现火情,在A处观测到C在北偏西40°方向,在B处观测到C在北偏西60°方向,求火场C到A、B的距离分别是多少？ABC40°60°130°30°？？解:问题.在△ABC中，已知∠CAB=130°，AB=10，∠CBA=30°，求AC和BC的长。sinA2在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，那么A、B、C、a、b、c相互之间的关系如何？ABC130°30°bacxy（bcosA，bsinA）DS△=1cbsinA=21acsinB=21absinCa=sinBb=sinCc正弦定理:a=√（c，0）（bcosA-c）2+（bsinA-0）2a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=b2+c2-a22bccosB=a2+c2-b22accosC=a2+b2-c22ab余弦定理:10千米5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(一)某林场为了及时地发现火情,在林场中设立了两个观测点A和B,B在A的正东方向10千米处。某日两个观测点都发现C处出现火情,在A处观测到C在北偏西40°方向,在B处观测到C在北偏西60°方向,求火场C到A、B的距离分别是多少？ABC40°60°130°30°？？解:∠ACB=180°-130°-30°=20°20°ACsin30°=10sin20°AC=10sin20°sin30°≈15ABsin130°=10sin20°AB=10sin20°sin130°≈22答:……千米千米例1.45°在△ABC中，已知a=√6，C=45°，求c、A、B。b=√3+1，解：ABCa=√6b=√3+1c=？？？c2=a2+b2-2abcosC=22263126312=4,c=2,cosA=b2+c2-a22bc=22231262312=12A=60°,60°B=75°.75°例2.例3.已知三角形的三边之比为3:5:7,求最大内角.解:设三边3x，5x，7x,最大边7x对角最大，cos=222357235xxxxx=-12最大角=120°。5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(二)sinA2ABC130°30°bacxy（bcosA，bsinA）DS△=1cbsinA=21acsinB=21absinCa=sinBb=sinCc正弦定理:a=√（c，0）（bcosA-c）2+（bsinA-0）2a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=b2+c2-a22bccosB=a2+c2-b22accosC=a2+b2-c22ab余弦定理:例1.在△ABC中，已知a=8,b=5,△ABC的面积S△ABC=12,求边c.解:S△ABC=21absinC=21·8·5·sinC=125？ABCa=8b=5c=？sinC=35(1)当C为锐角时,cosC=45c2=a2+b2-2abcosC=82+52-2·8·5·45=25,c=5;(2)当C为钝角时,cosC=-4？Ab=5c=？c2=82+52-2·8·5·(-45)=153,c=√153所以c=5或c=√153例2.已知圆O是△ABC的外接圆,直径为2R，试用R、A、B、C表示对边a、b、c.ABCbacODRR解:不妨设A为锐角,A=D,∠DCA是直角,sinA=sinD=2RasinAa=sinBb=sinCc=2R推广的正弦定理:例4.求证:(1)S△ABC=abc4R(2)S△ABC=2R2sinAsinBsinC例4.在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC作业:P74练习5.6(3)1,2,3,4,5（bcosA-c）2+5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(三)sinA2ABC130°30°bacxy（bcosA，bsinA）DS△=1cbsinA=21acsinB=21absinCa=sinBb=sinCc正弦定理:a=√（c，0）（bsinA-0）2a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=b2+c2-a22bccosB=a2+c2-b22accosC=a2+b2-c22ab余弦定理:96.87°例1.在△ABC中，已知A=30°,c=8,a=5,求边c、B、b。解:ABC30°c=8a=5？？b=？sin30°5=sinC8sinC=0.8C≈53.13°或C≈180°53.13°-=126.87°①C=53.13°时，B=180°-30°-53.13°=sin30°5=sin96.87°bb≈9.93。②C=126.87°时，B=180°-30°-126.87°=23.13°sin30°5=sin23.13°bb≈3.93。答：……C１？？？？132.54°例1.在△ABC中，已知A=30°,c=３,a=５,求边c、B、b。解:ABC30°c=3a=5sin30°5=sinC3sinC=0.3C≈17.46°或C≈180°17.46°-=162.54°①C=17.46°时，B=180°-30°-17.46°=sin30°5=sin132.54°bb≈7.37。b=？②C=162.54°时，A+C=30°+162.54°180°△ABC不存在.无解.答：……a在△ABC中，已知A,a,c解这个三角形:？？ABCcab=？sinAa=sinCcsinC=acsinA(1)当c≤a时,C是锐角,C=C1(锐角)符合,C=180°-C1=C2(钝角)A+C2180°,钝角C2舍去.(2)当ca时,DABcD①csinAa时,sinC1,无解;②csinA=a时,sinC=1,csinA(C)C=90°,一解;③csinAa时,sinC1,aaC１C2C=C1(锐角),或C=180°-C1=C2(钝角)两解.练习.在△ABC中，已知b=6,c=9,B=45°.求角C和边a。解:ABCc=9b=645°sinBb=sinCcsin45°6=sinC9sinC=9sin45°6=34√21,D9sin45°9sin45°6,ADAC,无解;作业:练习册A组1~13作业:课本：P69练习5.6(1)1,2,3课本：P71练习5.6(2)1,2,3,4,5