高等数学-偏导数

19.2偏导数9.2.1偏导数的概念及其计算法例如,二元函数z=f(x,y),先让y固定(即y视为常数),这时z就是x的一元函数,z对x的导数,为求一元函数的变化率,我们引入了导数的概念.对于多元函数,我们先考虑它关于一个自变量的变化率.称为二元函数z对x的偏导数.2设二元函数z=f(x,y),P0(x0,y0)为平面上一点.定义9.3如果z=f(x,y0)在x0的某一邻域内有定义且在x0点即极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在,处在点),(),(00yxyxfz则称此极限为函数对x的偏导数,记为,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz).,(00yxfx或可导,3yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000同理,可定义函数在点处对y的偏导数为),(yxfz),(00yx记为,00yyxxyz,00yyxxyf或).,(00yxfy,00yyxxyz4的偏导数,如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y同理,可以定义函数对自变量y),(yxfz数,简称偏导数.的函数,称其为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函记作或xz).,(yxfx,,xfxz).,(yxfy记作或yzyfyz,,5求多元函数的偏导数并不需要新的方法,利用一元函数),,(yxfx如求只需将y看作常量,的求导法对x求导即可.解xz;32yxyz.23yx21yxxz8231221yxyz72213例求在点处的偏导数．223yxyxz)2,1(6证xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z证毕．),1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1例设证明7偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyxxzyxfzyxxfzyxfxx),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz),,(),,(lim),,(08解利用函数关于自变量的对称性,有例求的偏导数．222zyxrxzyxxr221222,222zyxx,222zyxyyr222zyxzzr9三个偏导数.2lnsin)(),,(xazzyxfxy求解求某一点的偏导数时,12]ln[sinxx)2,0,1(yf)2,0,1(zf)2,0,1(xf12lncos2xxx2,000y002z例变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的可将其它变量的值再求导,常常较简单.10求在点(1,0)处的两个偏导数.yyxzsin2解1,0)0,1(xz0)sin()0,1(yyyyz2)cos1(0yy解2,2xyxz,cos2yxyz,0)0,1(xz.2)0,1(yz11证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVTRVpTpTTVVp2VRTpRRV1pVRTRTpV.1pTTVVp例已知理想气体的状态方程(R为常数),求证:12有关偏导数的几点说明：)0,0(),(0)0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当例.),(的偏导数求yxf解,)0,0(),(时当yx1.偏导数是一个整体记号,不能拆分;xf2.分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;13),(yxfxy222)(yx)(22yxxxy222222)()(yxxyy),(yxfy222)(yx)(22yxxyxy222222)()(yxyxx,)0,0(),(时当yx按定义得).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当)0,0(xf00lim0xx)0,0(yf00lim0yyxfxfx)0,0()0,0(lim0yfyfy)0,0()0,0(lim0143.偏导数存在与连续的关系但函数在该点处没有极限，所以不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，.0)0,0()0,0(yxff由前面的例子可知在(0,0)处,例如,函数,0,00,),(222222yxyxyxxyyxf15例研究函数在(0,0)点的.)0,0(),(在点的两个偏导数都不存在yxf解因为连续性与可偏导性.22),(yxyxf220000lim),(limyxyxfyxyx),0,0(0f所以,函数在(0,0)点连续.而,)0,(xxfyyf),0(所以,16二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的().A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件D17),(yxfz设二元函数)),(,,(00000yxfyxM设在点),(000yxM有如图,),(yxfz为曲面偏导数.上的一点,0M),(yxfz过点0M作平面,0yy此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为),,(yxfz.0yy),(0yxfz由于偏导数),(00yxfx等于一元函数),(0yxf的导数),(0yxf,0xx故由一元函数导数的几何意义0x0y9.2.2偏导数的几何意义yzOx18可知:0xyTxT0y),(yxfz),(0yxfz0M偏导数),(00yxfx在几何上表示曲线),(yxfz0yy在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对x轴的斜率;偏导数),(00yxfy在几何上表示曲线),(yxfz0xx在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对y轴的斜率.),(0yxfzyzOx19.),()),(,,(00000上一点为曲面yxfzyxfyxM设20例求曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角.解,21),(xyxfx,tan1)4,2(xf44422yyxz21xz),(yxfyy),,(yxfxy),(yxfyx纯偏导混合偏导x22xz),,(yxfxx22yzyzyyxz2xzyxyz2yzx定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.9.2.3高阶偏导数函数的二阶偏导数为),(yxfz22解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yzxyx1823xyz219622yyxyxz2,19622yyx,13323xyxyyxz.222222xyzyxzyzxz及、、例设求23一般地,多元函数的高阶混合偏导数如果连续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏),(),(yxfyxfyxxy与在区域D内连续,定理9.1那么在导数该区域内).,(),(yxfyxfyxxy如yxf23xyxf3.23xyf),(yxfz问题:混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件才相等?24解),ln(21),(22yxyxu,22yxxxu2222222)(2)(yxxxyxxu.)(2222222yxyxyu22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu0利用函数关于自变量的对称性.02222yuxu例验证函数满足拉普拉斯方程22ln),(yxyxu22222)(yxxy25例验证函数)sin(ayxz.22222xzayz满足波动方程:证因xz22xzyz22yz故有.22222xzayz),cos(ayx);sin(ayx),cos(ayxa),sin(2ayxa26有连续的二阶且设,)()(1fyxyxyfxz).(,2yxz则导数)()()(yxyyxxyfy)()()(12yxyxyfxyxyfxxz例27有连续的其中设gfxyxgyxyfu,,.,222yxuyxux求二阶导数答案:0解xuyxu2xygxyyxfxygxygxyyxfy32122xuxygxyyxfyx2228).()1,2(,sin2处的值为在点则设yxuyxeux2eyxyeyxexuxxcos1sinyxyxeyxeyyxyxeyxuxxxsincos1cos3222解作业习题9.2(P166)1.(4)(5)2(2).3.4.(1)(2)8