高三数学复习三垂线定理

OaAPOaAP9.3-2三垂线定理【教学目标】正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。【知识梳理】1．斜线长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短．2．重要公式如图，已知OB平面于B，OA是平面的斜线，A为斜足，直线AC平面，设OAB=1，又CAB=2，OAC=．那么cos=cos1cos2．3．直线和平面所成的角①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角．4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理名称语言表述图示字母表示应用三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.POaAOaaPA①证两直线垂直②作点线距③作二面角的平面角三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.AOaPOaaPA同上重要提示三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．【点击双基】1．下列命题中，正确的是()(A)垂直于同一条直线的两条直线平行(B)平行于同一平面的两条直线平行(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线(D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线2．直线a、b在平面内的射影分别为直线a1、b1，下列命题正确的是()(A)若a1b1，则ab(B)若ab，则a1b1(C)若a1b1，则a与b不垂直(D)若ab，则a1与b1不垂直3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a与b是()(A)异面直线(B)相交直线(C)异面直线或相交直线(D)异面直线或平行直线CDABOCAPBDMNQl4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部，则射影是△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PABC，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为．这两条斜线段在平面内的射影成的角为(90180)，那么与的关系是()(A)(B)(C)(D)8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则l2与平面所成角的取值范围是()(A)[0,60](B)[60,90](C)[30,90](D)[0,90]【典例剖析】例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC；求证：ACBD；证法一：作AO平面BCD于O，连OB、OC、OD，∵ABCD，∴OBCD，同理，由ADBC得ODBC，∴O是△BCD的垂心，∴OCBD，从而ACBD．证法二：设AB=a，AC=b，AD=c，则BC=ba，BD=ca，CD=cb，∵ABCD，ADBC，∴a(cb)=0，c(ba)=0，则ac=ab，ac=cb．∴ab=cb，即abcb=0，从而有b(ca)=0，故ACBD．例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90，ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l．(1)判断l与MN的位置关系，并进行证明；(2)求点M到直线l的距离．解：(1)lMN，证明如下：∵M、N分别是PA、PB的中点，∴MNAB，MN平面ABC，AB平面ABC，∴MN平面ABC．又∵MN平面MNC，平面MNC平面ABC=l，∴MNl．(2)取AC的中点Q，连MQ，则MQPC，而PC平面ABC，∴MQ平面ABC．作QD直线l于D，连MD，则MD直线l．线段MD的长即为M到直线l的距离．在Rt△ABC中，可求得AC=43，∴QC=23．又MQ=21PC=3，QCD=30，∴QD=21QC=3．于是MD=22QDMQ=23．DCOBAabcNMPCBA例3.如图，P是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。证明：∵O是ΔABC的垂心，∴BC⊥AE。∵PA⊥平面ABC，根据三垂线定理得BC⊥PE。∴BC⊥平面PAE。∵Q是ΔPBC的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，∴OQ⊥BC。∵PA⊥平面ABC，BF平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是ΔABC的垂心，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC。因而FM是BM在平面PAC内的射影。因为BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM。又OQ平面BFM，所以OQ⊥PC。综上知OQ⊥BC，OQ⊥PC，所以OQ⊥平面PBC。说明：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=090，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；（3）求证：DE⊥平面BB1C1C。证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1从而A1B1⊥平面BB1C1C。（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C，∴A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1C⊥BC1（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C。例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN＝3NB（1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝2BC＝4时，求MN的长。（1）证明：取PA的中点Q，连结,MQNQ，∵M是PC的中点，∴//MQBC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，∵,PAPB∴PDAB，又3ANNB，∴BNND∴//QNPD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB（2）∵90APB，,PAPB∴122PDAB，∴1QN，∵MQ平面PAB∴MQNQ，且112MQBC，∴2MN【知识方法总结】运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。【作业】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E在上底面A1B1C1D1内，A1B1E=60，A1B1=2B1E，求证：AEB1E2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为是底面AC的中心，P为棱A1B1上任意的一点，则直线OP与AM所在的角等于。A90度B60度C45度D30度3.如图：在平面β内有△ABC，在平面β外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB分别与平面β所成的角相等，(1)求证：AC＝BC；(2)又设点S与平面β的距离是4cm，AC⊥BC，且AB=6cm，求点S与直线AB的距离。4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C在平面ABD上的射影O恰在AB上。（1）求证：BC平面ACD；（2）求点A到平面BCD的距离；（3）求直线AB与平面BCD所成的角的大小。DABCABCDO5.直线a平行于平面，l为平面的斜线，a直线l在内的射影，求证：la。6.G为ABC的垂心，GP平面ABC，且APBP，求证：APCP