高三数学第二轮专题复习系列(7)--_直线与圆的方程

第1页（共24页）高三数学第二轮专题复习系列(7)--直线与圆的方程一、大纲解读解析几何的主要内容是高二中的直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。二、高考预测解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题，分值约占15%，即22分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质——“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.三、重点剖析1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。例1已知21:220lxmym++=与2:36lyx=−+，若两直线平行，则m的值为_____．解析：22263136mmm=≠⇒=−−．点评：解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合．易错指导：不知道两直线平行的条件、不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方。例2（08年高考广东卷文6理11）经过圆2220xxy++=的圆心C，且与直线0xy+=垂直的直线方程是．解析：圆心坐标是()1,0−，所求直线的斜率是1，故所求的直线方程是1yx=+，即10xy−+=。点评：本题考查解析几何初步的基本知识，涉及到求一般方程下的圆心坐标，两直线垂直的条件，直线的点斜式方程，题目简单，但交汇性很强，非常符合在知识网络的交汇处设计试题的命题原则，一个小题就把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致。易错指导：基础知识不牢固，如把圆心坐标求错，不知道两直线垂直的条件，或是运算变形不细心，都可能导致得出错误的结果。2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系.例3（08高考山东卷理11）已知圆的方程为22680xyxy+−−=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．106B．206C．306D．406解析：圆心坐标是()3,4，半径是5，圆心到点()3,5的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为2225146−=，所以四边形ABCD的面积为11104620622ACBD××=××=。点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力。解题的关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半。本题是一道以分析问题解决问题的能力立意设计的试题。第2页（共24页）易错指导：逻辑思维能力欠缺，不能找到解题的关键点，或是运算能力欠缺，运算失误，是本题不能解答或解答错误的主要原因。3.圆锥曲线的基本问题：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质，求简单的曲线方程.例4（08年高考海南宁夏卷理11）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.（41，－1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，－2）解析：定点()2,1Q−在抛物线内部，由抛物线的定义，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线1y=−和抛物线24yx=的交点，解得这个点的坐标是1,14⎛⎞−⎜⎟⎝⎠。点评：本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法。类似的题目在过去的高考中比较常见。易错指导：不能通过草图和简单的计算确定点Q和抛物线的位置关系，不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离，是解错本题或不能解答本题的原因。例5（08年高考山东卷文13）已知圆22:6480Cxyxy+−−+=．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．解析：221412xy−=圆C和x轴的交点是()()2,0,4,0，和y轴没有交点。故只能是点()2,0为双曲线的一个顶点，即2a=；点()4,0为双曲线的一个焦点，即4c=。22212bca=−=，所以所求双曲线的标准方程为221412xy−=。点评：本题考查圆和双曲线的基础知识，考查数形结合的数学思想。解题的关键是确定所求双曲线的焦点和顶点坐标。易错指导：数形结合的思想意识薄弱，求错圆与坐标轴的交点坐标，用错双曲线中,,abc的关系等，是不同出错的主要问题。4.直线与圆锥曲线的位置关系例6（08年高考山东卷文11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430xy−=和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A．227(3)13xy⎛⎞−+−=⎜⎟⎝⎠B．22(2)(1)1xy−+−=C．22(1)(3)1xy−+−=D．223(1)12xy⎛⎞−+−=⎜⎟⎝⎠解析：设圆心坐标为(),ab，则1b=且4315ab−=.又0b，故1b=，由435a−=得12a=−（圆心在第一象限、舍去）或2a=，故所求圆的标准方程是()()22211xy−+−=。点评：本题考查直线和圆的有关基础知识，考查坐标法的思想，考查运算能力。解题的关键是圆心坐标。易错指导：不能把直线与圆相切的几何条件通过坐标的思想转化为代数条件，或是运算求解失误等。例7（2008年海南宁夏卷理14）过双曲线221916xy−=的右顶点为A，右焦点为F。过点F第3页（共24页）平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________解析：双曲线右顶点()3,0A，右焦点()5,0F，双曲线一条渐近线的斜率是43，直线FB的方程是()453yx=−，与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为3215−，故△AFB的面积为1132322221515BAFy×=××=。点评：本题考查双曲线的基础知识和运算能力。易错指导：过右焦点F和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点，如果写错渐近线的方程，就会解出两个交点，不但增加了运算量，还使结果错误。例8（08年高考江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222=+babyax的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆做圆M，若过点P⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0,2ca，所作圆M的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为▲解析：过点⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0,2ca作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形OAPB是一个正方形，即圆心O到点P⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0,2ca的距离等于圆的半径的2倍，即22aac=，故22cea==。点评：本题把椭圆方程、圆和圆的切线结合起来，考查椭圆的简单几何性质，体现了“在知识的网络交汇处设计试题”的原则，较全面地考查了解析几何的基本知识。解题的突破口是将圆的两条切线互相垂直转化为一个数量上的关系。易错指导：陷入圆的两条切线互相垂直，不能通过数形结合的方法找到解题途径等，是考生解错本题的主要原因。例9（08年高考广东卷理18文20）设0b，椭圆方程为222212xybb+=，抛物线方程为28()xyb=−．如图4所示，过点(02)Fb+，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．解析：（1）由28()xyb=−得218yxb=+，AyxOBGFF1第4页（共24页）当2yb=+得4x=±，∴G点的坐标为(4,2)b+，1'4yx=，4'|1xy==，过点G的切线方程为(2)4ybx−+=−即2yxb=+−，令0y=得2xb=−，1F∴点的坐标为(2,0)b−，由椭圆方程得1F点的坐标为(,0)b，2bb∴−=即1b=，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy+=和28(1)xy=−；（2）∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,∴以PAB∠为直角的RtABP∆只有一个，同理∴以PBA∠为直角的RtABP∆只有一个。若以APB∠为直角，设P点坐标为21(,1)8xx+，A、B两点的坐标分别为(2,0)−和(2,0)，222421152(1)108644PAPBxxxx=−++=+−=��������i。关于2x的二次方程有一大于零的解，x∴有两解，即以APB∠为直角的RtABP∆有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP∆为直角三角形。点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法、存在性问题的解决方法、分析问题解决问题的能力，是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导数的应用交汇在一起的综合性试题，是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。易错指导：本题把抛物线和椭圆结合在一起，题目的条件里还有两条直线，考生在心理上畏惧，可能出现的问题是思维混乱，理不清题目中错综复杂的关系，找不到正确的解题思路；在解决第二问时缺乏分类讨论的思想意识产生漏解等四扫雷先锋易错点一、考虑不全面例1过（0，2）作直线l，使l与抛物线xy42=仅有一个公共点，这样的直线l有几条？错解：设直线l的方程为y＝kx＋2，与xy42=联立，整理得.0842=+−yky因为l与抛物线仅有一个公共点，所以03216=−=∆k，解得.21=k此时l的方程为.221+=xy所以这样的直线l有一条。剖析：（1）问题之一，错解忽视了对斜率不存在这一情况的考虑，事实上，直线方程为x＝0时，是符合条件的。（2）问题之二，得到方程.0842=+−yky后，方程不一定是一元二次方程。如果不是一元二次方程，当然就没有什么判别式了，故需按k＝0及0≠k两种情况考虑。正解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，与xy42=联立，整理得.0842=+−yky（1）k＝0时，方程.0842=+−yky只有一个解y＝2，故l为直线y＝2时与抛物线只有一个公共点，满足条件；第5页（共24页）（2）0≠k时，因为l与抛物线仅有一个公共点，所以03216=−=∆k，解得解得.21=k此时l的方程为.221+=xy当直线l的斜率不存在时，直线x＝0与抛物线只有一个公共点，满足条件。综上，符合条件的直线有三条：x＝0，y＝2，.221+=xy点评：忽视含参数系数的讨论，以及设直线方程（为点斜式、斜截式、截距式等时，忽视对引入的参数（如斜率、截距等）的特殊情况的考虑是同学们在做题中的常见错误，一定要注意。易错点二：变形不等价例2直线yxb=+与曲线21xy=−有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A．||2b=B．11b−≤或2b=−C．12b−≤≤D．21b错解：联立方程组21yxbxy=+⎧⎪⎨=−⎪⎩，消去x得222210ybyb−+−=，因为直线yxb=+与曲线21xy=−有且仅有一个公共点，所以方程只有一解，所以()224810bb∆=−−=,解得||2b=，所以选A.剖析：本题中曲线21xy=−并不是一个完整的圆而是半个圆（右半圆），而()224810bb∆=−−=时，直线yxb=+与曲线21xy=−有且仅有一个公共点，并不能保证直线与右半圆也只有一个公共点。正解：作出曲线21xy=−的图形，如图所示：bacyxO由图形可得，当直线yxb=+在b和c之间变化时，满足题意，同时，当直线在a的位置时也同时满足题意，所以应选（B）。点评：曲线21xy=−的表达式本身限制了x的取值只是非负值，所以曲线21xy=−只第6页（共24页）是圆221xy+=的右半部分。若用代数方法处理，应是方程组21yxbxy=+⎧⎪⎨=−⎪⎩化为关于x的方程后只有一个非负解，相比之下数形结合更简捷明快。五规律总结1．两直线的位置关系注意