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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 市场营销 > 专题3.10 判断点在圆内外,向量应用最厉害(解析版)
【题型综述】点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种:①利用设而不求思想求出圆心坐标,然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解;②向量法,通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系:如已知AB是圆的直径,G是平面内一点,则0GAGB点G在圆内;0GAGB点G在圆外;0GAGB点G在圆上.③方程法,已知圆的方程222)()(:rbyaxM,点N),(00yx,则22020)()(rbyax点N在圆M内;22020)()(rbyax点N在圆M上;22020)()(rbyax点N在圆M外.四点共圆问题的解题策略:①利用四点构成的四边形的对角互补;②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程,然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】类型一向量法判定点与圆的位置关系例1【2015高考福建,理18】已知椭圆E:22221(a0)xybab+=过点(0,2),且离心率为22.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设直线1xmymR=-?,()交椭圆E于A,B两点,判断点G9(4-,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】解法一:(Ⅰ)由已知得2222,2,2,bcaabcì=ïïï=íïï=+ïî解得222abcì=ïï=íïï=î,所以椭圆E的方程为22142xy+=.(Ⅱ)设点1122(y),B(,y),AxxAB中点为00H(,y)x.由22221(m2)y230,142xmymyxyì=-ïï+--=íï+=ïî得学科&网所以12122223y+y=,yy=m2m2m++,从而022ym2=+.所以222222200000095525GH|()y(my)y(m+1)y+my+44216x=++=++=.22222121212()(y)(m+1)(y)|AB|444xxyy-+--==22221212012(m+1)[(y)4y](m+1)(yy)4yyy+-==-,[来源:学科网ZXXK]故222222012222|AB|52553(m+1)25172|GH|my(m+1)y042162(m2)m21616(m2)mmy+-=++=-+=+++所以|AB||GH|2,故G9(4-,0)在以AB为直径的圆外.[来源:学科网ZXXK]所以cosGA,GB0,GAGB狁又,不共线,所以AGBÐ为锐角.故点G9(4-,0)在以AB为直径的圆外.学科&网类型二四点共圆应用问题例2.(2014全国大纲21)已知抛物线C:22(0)ypxp的焦点为F,直线4y与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且5||||4QFPQ.(I)求C的方程;(II)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.类型三动圆过定点问题例3(2012福建理19)如图,椭圆)0(1:2222babyaxE的左焦点为1F,右焦点为2F,离心率21e。过1F的直线交椭圆于BA,两点,且2ABF的周长为8。(Ⅰ)求椭圆E的方程。(Ⅱ)设动直线mkxyl:与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线4x相交于点Q。试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由。(法2)由22143ykxmxy得222(43)84120kxkmxm,∵动直线l与椭圆E有且只要一个交点00(,)Pxy,∴0m且△=0,学科&网即2222644(43)(412)0kmkm,化简得22430,km①此时0x=2443kmk=4km,0y=0kxm=3m,∴P(4km,3m),由4xykxm得Q(4,4km).学科&网假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上,设M(1x,0),则MPMQ=0对满足①式的m,k恒成立.∵MP=(4km-1x,3m),MQ=(4-1x,4km),∴1143()(4)(4)kxxkmmm=0,整理得2111(44)430kxxxm,②∴1211440430xxx,解得1x=1,∴存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.∵MP=(4km-1,3m),MQ=(3,4km),∴MPMQ=121233kkmm=0,学科&网∴恒有MPMQ,∴存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.类型四证明四点共圆例4.已知O为坐标原点,F为椭圆22:12yCx在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-2的直线l与C交与A、B两点,点P满足0.OAOBOP(Ⅰ)证明:点P在C上;(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.【扩展链接】1.O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ.(1)22221111||||OPOQab;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;(3)OPQS的最小值是2222abab.2.若椭圆方程为22221(0)xyabab,半焦距为c,焦点12,0,,0FcFc,设过1F的直线l的倾斜角为,交椭圆于A、B两点,则有:①2211,coscosbbAFBFacac;②2cosabABac2222若椭圆方程为22221(0)xyabab,半焦距为c,焦点12,0,,0FcFc,设过F2的直线l的倾斜角为,交椭圆于A、B两点,则有:①22,coscosbbAFBFacac22+-;②22cosabABac222同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为22sinabABac222(a为长半轴,b为短半轴,c为半焦距)结论:椭圆过焦点弦长公式:222cos2sinabxacABabyac222222焦点在轴上焦点在轴上3.设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦,1122(,)(,)AxyBxy、,直线AB的倾斜角为,则①.221212,;4pxxyyp②.12,21cos21cosppppAFxBFx③.1222;sinpABxxp④.112||||FAFBP;⑤.234OAOBp;⑥.211sin222sinAOBFpSOAOBAOBOFh;【同步训练】1.已知椭圆的离心率,过点A(0,﹣b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;[来源:学。科。网Z。X。X。K](2)已知定点E(﹣1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.【思路点拨】(1)直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:,由此能求出椭圆的方程.(2)假设存在这样的值.,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,再由根的判别式和根与系数的关系进行求解.(2)假设存在这样的值.,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,∴△=(12k)2﹣36(1+3k2)>0…①,设C(x1,y1),D(x2,y2),则而y1•y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,要使以CD为直径的圆过点E(﹣1,0),当且仅当CE⊥DE时,学科&网则y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,∴(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0…③将②代入③整理得k=,学科&网经验证k=使得①成立综上可知,存在k=使得以CD为直径的圆过点E.2.已知椭圆的右焦点为,离心率为.(1)若,求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得,,所以椭圆的方程为.(2)联立直线与椭圆的方程,集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得,结合离心率的范围可知则的取值范围是.因为,所以,.所以,即.学科&网3.已知椭圆:过点,且离心率.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)椭圆长轴两端点分别为,点为椭圆上异于的动点,直线:与直线分别交于两点,又点,过三点的圆是否过轴上不同于点的定点?若经过,求出定点坐标;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程,由a,b,c的关系,即可得到椭圆方程;(2)设,由椭圆方程和直线的斜率公式,以及两直线垂直的条件,计算即可得证.4.已知椭圆1E:22216xya的焦点1F、2F在x轴上,且椭圆1E经过,2(0)Pmm,过点P的直线l与1E交于点Q,与抛物线2E:24yx交于A、B两点,当直线l过2F时1PFQ的周长为203.(Ⅰ)求m的值和1E的方程;(Ⅱ)以线段AB为直径的圆是否经过2E上一定点,若经过一定点求出定点坐标,否则说明理由。【思路点拨】(1)由1PFQ的周长为203求得a,再根据椭圆1E经过,2Pm求得m.(2)设直线l方程:52xny,与抛物线方程联立方程组,消x得关于y的一元二次方程,结合韦达定理,化简以线段AB为直径的圆方程,按参数n整理,根据恒等式成立条件求出定点坐标5.已知抛物线C顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线C上一点,2Qa到焦点的距离为3,线段AB的两端点11,Axy,22,Bxy在抛物线C上.(1)求抛物线C的方程;(2)若y轴上存在一点0,(0)Mmm,使线段AB经过点M时,以AB为直径的圆经过原点,求m的值;(3)在抛物线C上存在点33,Dxy,满足312xxx,若ABD是以角A为直角的等腰直角三角形,求ABD面积的最小值.【思路点拨】(1)根据抛物线的定义,丨QF丨=丨QQ1丨,即可求得p的值,即可求得抛物线方程;(2)设AB的方程,代入椭圆方程,由0OAOB,根据向量数量积的坐标运算及韦达定理,即可求得m的值;(3)设211,4xAx,222,4xBx,233,4xCx,根据抛物线关于y轴对称,取10x,记1ABkk,2ADkk,则有2114xxk,3124xxk,所以2114xkx,3214xkx,121kk,由ABAD,即2212123111kxxkxx,进而化简求出1x,得:3112114422kxkk,2222112114411||122ABDkSABkkk,即可求得△ABD面积的最小值.(3)如图所示,设211,4xAx,222,4xBx,233,4xCx,根据抛物线关于y轴对称,取10x,记1ABkk,2ADkk,则有2114xxk,3124xxk,所以2114xkx,3214xkx,121kk,学科&网又因为ABD是以A为顶点的等腰直角三角形,所以ABAD,即2212123111kxxkxx,将23,xx代入得:6.已知椭圆C:22221xyab(0ab)经过点21,2P,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)动直线l:103mxnyn(m,nR)交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)由题设知a=2b,所以222212xybb,椭圆经过点P(1,22),代入可得b=1,a=2,由此可知所求椭圆方程.(2)首先求出动直线过(0,﹣13)点.当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+(y+13)2=169;当l与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由2211622{391xyxy().由此入手可求出点T的坐标.
本文标题:专题3.10 判断点在圆内外,向量应用最厉害(解析版)
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