2012高考数学理专题突破课件第二部分第四讲_解答题的解法

第二部分应试高分策略第二部分应试高分策略第四讲解答题的解法在高考数学试题中，解答题的题量虽然比不上选择题，但是其占分的比重最大，足见它在试卷中地位之重要．解答题也就是通常所说的主观性试题，这种题型内涵丰富，包含的试题模式灵活多变．其基本构架是：先给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，再让考生解答，而且“题设”和“要求”的模式多种多样．高考题型概述考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和过程，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚．1．新课程高考解答题的新特点(1)从近几年看，解答题的出处较稳定，一般为数列、三角函数(包括解三角形)、概率、立体几何(与向量整合)、函数与导数及不等式、解析几何等．(2)解法灵活多样，入口宽，得部分分易，得满分难，几乎每题都有坡度，层层设关卡，能较好地区分考生的能力层次．(3)侧重新增内容与传统的中学数学内容及数学应用的融合，如函数与导数、数列结合，向量与解析几何内容的结合等．(4)运算与推理互相渗透，推理证明与计算紧密结合，运算能力强弱对解题的成败有很大影响．在考查逻辑推理能力时，常常与运算能力结合考查，推导与证明问题的结论，往往要通过具体的运算；在计算题中，也较多地掺进了逻辑推理的成分，边推理边计算．(5)注重探究能力和创新能力的考查．探索性试题是考查探究和创新能力的好素材，因此在试卷中占有重要的作用；同时加强了对应用性问题的考查．2．高考数学解答题的基本题型我们认真分析近几年各省市高考数学试题，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，分别为三角函数、平面向量型解答题，立体几何型解答题，排列组合、二项式定理及概率型解答题，函数与不等式型解答题，解析几何型解答题，数列型解答题．这是高考数学的重头戏，这部分内容包含的知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，它们突出了中学数学的主要思想和方法，考查了考生的创新能力和创新意识．3．高考数学解答题的答题策略(1)审题要慢，解答要快．审题是整个解题过程的“基础工程”题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识．(2)确保运算准确，立足一次成功．(3)讲究书写规范，力争既对又全．这就要求考生在面对试题时不但会而且要对，对而且全，全而规范．(4)面对难题，讲究策略，争取得分．会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而对于不能全部完成的题目应：①缺步解答；②跳步解答．解题过程卡在其一中间环节上时，可以承接中间结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的(2)、(3)问．解题方法例析平面向量与三角函数(正、余弦定理)这是综合考查知识点，特别是向量与三角函数的结合是近几年高考的热门知识点．平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，与三角函数有机地结合起来．这一结合综合性强，创新力度大，能有效地沟通知识之间的广泛连接．处理好题目之间的联系，巧妙地应用向量解决三角函数问题及正余弦定理，要求我们熟记三角函数公式，诱导公式、三角变换公式及向量的有关计算公式．例1已知点A，B，C的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C(3cosα，3sinα)．(1)若α∈(－π，0)，且|AC→|＝|BC→|，求角α的值；(2)若AC→·BC→＝0，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．【解】AC→＝(3cosα－4,3sinα)，BC→＝(3cosα，3sinα－4)．(1)由|AC→|＝|BC→|，得(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4)2，∴sinα＝cosα.∵α∈(－π，0)，∴α＝－34π.(2)∵2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sinαcosαcosα＋sinαcosα＋sinα＝2sinαcosα，又∵AC→·BC→＝0，∴3cosα(3cosα－4)＋3sinα(3sinα－4)＝0.∴sinα＋cosα＝34.两端平方，得2sinαcosα＝－716，∴2sin2α＋sin2α1＋tanα＝－716.统计与概率统计与概率是高考必考内容，它是以实际应用为载体，以概率统计等知识为工具，考查古典概型、几何概型、抽样方法、样本频率计算、频率分布直方图等主要内容．命题热点是：抽样方法、样本的频率分布、概率计算，并将统计的数字特征、直方图与概率相结合，更注重事件的过程分析．例2(2011年高考湖南卷)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．日销售量(件)0123频数1595(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．【解】(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为：X23P1434故X的数学期望为E(X)＝2×14＋3×34＝114.数列与推理数列的通项公式、前n项和及它们之间的关系是高考的热点，利用函数的性质和方程思想研究数列的单调性、最值也是命题的切入点．复习时要关注用提示性方式出现的递推数列．对于把合情推理、演绎推理与数列融合在一起的问题，在复习时也要引起重视．例3(2011年高考辽宁卷)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列an2n－1的前n项和．【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1＋d＝0，2a1＋12d＝－10，解得a1＝1，d＝－1.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列an2n－1的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a22＋…＋an2n－1，故S1＝1，Sn2＝a12＋a24＋…＋an2n.所以，当n1时，Sn2＝a1＋a2－a12＋…＋an－an－12n－1－an2n＝1－12＋14＋…＋12n－1－2－n2n＝1－1－12n－1－2－n2n＝n2n.所以Sn＝n2n－1.综上，数列an2n－1的前n项和Sn＝n2n－1.立体几何型对识图与视图的考查是立体几何的核心，其中大题是以多面体为依托，考查线、面基本位置关系，空间角、面积、体积等度量关系，注重作图、证明与计算相结合，常常通过设未知数或未知量来解决问题．例4(2011年高考重庆卷)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°.()1若AD＝2，AB＝2BC，求四面体ABCD的体积；()2若二面角C­AB­D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解】()1如图①，设F为AC的中点，连接DF，由于AD＝CD，所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF＝ADsin30°＝1，AF＝ADcos30°＝3.在Rt△ABC中，因为AC＝2AF＝23，AB＝2BC，由勾股定理易知BC＝2155，AB＝4155，故四面体ABCD的体积V＝13·S△ABC·DF＝13×12×4155×2155×1＝45.()2法一：如图①，设G，H分别为边CD，BD的中点，连接FG，FH，HG，则FG∥AD，GH∥BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角．设E为边AB的中点，连接EF，DF，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由()1有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C­AB­D的平面角，由题设知∠DEF＝60°.设AD＝a，则DF＝AD·sin∠CAD＝a2.在Rt△DEF中，EF＝DF·cot∠DEF＝a2·33＝36a，从而GH＝12BC＝EF＝36a.因为Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD＝AD＝a，从而，在Rt△BDF中，FH＝12BD＝a2.又FG＝12AD＝a2，从而在△FGH中，因FG＝FH，由余弦定理得cos∠FGH＝FG2＋GH2－FH22FG·GH＝GH2FG＝36.因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为36.法二：如图②，过F作FM⊥AC，交AB于M.已知AD＝CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F­xyz.不妨设AD＝2，由CD＝AD，∠CAD＝30°，易知点A，C，D的坐标分别为A()0，－3，0，C()0，3，0，D()0，0，1，则AD→＝()0，3，1.显然向量k＝()0，0，1是平面ABC的法向量．已知二面角C­AB­D为60°，故可取平面ABD的单位法向量n＝()l，m，n，使得〈n，k〉＝60°，从而n＝12.由n⊥AD→，有3m＋n＝0，从而m＝－36.由l2＋m2＋n2＝1，得l＝±63.设点B的坐标为()x，y，0，由AB→⊥BC→，n⊥AB→，取l＝63，有x2＋y2＝3，63x－36()y＋3＝0，解得x＝469，y＝739，或x＝0，y＝－3()舍去.易知l＝－63与坐标系的建立方式不合，舍去．因此点B的坐标为469，739，0.所以CB→＝469，－239，0，从而cos〈AD→，CB→〉＝AD→·CB→|AD→||CB→|＝3×－2393＋14692＋－2392＝－36.故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为36.解析几何热点是把圆锥曲线、直线、圆融合在一起，重点是考查解析几何的基础知识、求轨迹的方法、数形结合和整体思想，主要融合点为函数、方程、三角、向量、不等式，近几年解析几何是稳中求稳，但在难度、形式上有所变化，小题考查圆锥曲线的简单几何性质，大题设置背景还是直线与圆锥曲线的位置关系，但考点会是定点、定值和探究性问题．圆锥曲线型例5已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点F到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．【解】(1)依题意，可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1，则右焦点为F(a2－1，0)．由题意，知|a2－1＋22|2＝3，解得a2＝3.故所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设点M、N的坐标分别为M(xM，yM)、N(xN，yN)，弦MN的中点为P(xP，yP)．由y＝kx＋m，x23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.∵直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)0⇒m23k2＋1，①∴xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，∴kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk.又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1，②把②代入①，得m22m，解得0m2.由②，得k2＝2m－130，解得m12.综上可得，m的取值范围是12m2.导数及其应用热点是函数的单调性、极值与最值、导数的应用与数列综合、导数的应用与不等式综合，近几年导数应用的主要热点是含参的分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想等．函数与导数例6(2011年高考安徽卷)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．【解】对f(x