新人教版八上数学培优讲义(15讲)

1第一讲三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角).4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.【变式题组】1．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.2．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().A．1B．2C．3D．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()A．24cmB．30cmC．24cm或30cmD．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.GFEDBAC2【变式题组】1．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.(第1题图)FEDBAC2．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.3．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.(例4题图)BDACE【变式题组】1．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.2．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.3．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.(第3题图)ABCDEF【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC＝______________.OBAC(第2题图)FEBCAD(第3题图)FDBCAE(第2题图)ABFEDC(第1题图)ABEDC3【变式题组】1．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.(第1题图)OBAC3．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.【变式题组】1.（改）如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合)，过点F作EF⊥BC交于点E，下列结论:①∠P+∠DEF为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝______________.【变式题组】1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的直角α＝______________.(第3题图)POBAC(例6题图)EDABC(第2题图)DEPCAGBF(第1题图)FEDABCC'B'ABC4(第1题图)α22°OBMA2．如图，在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′，若点A′在AB上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB＝90°，∠B＝30°)3．如图，△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边，AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高1．如图，图中三角形的个数为()A．5个B．6个C．7个D．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定3．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列语句中，正确的是()A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________.8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.9．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于点D、E，则∠BDC的度数是______________.(第2题图)B'A'AOB(第3题图)αEDCBAEDABCFG5(第9题图)DEBAC10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.12．如图，已知:∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝______________.13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝13∠BAC，求∠BAC的度数培优升级·奥赛检测1．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形B．C．2．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有()A．21个B．28个C．49个D．54个3．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________.4．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________.5．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠C＝38°，则∠P＝______________.6．如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为(0，a)和(9，a).点E在AB上，且AE＝13AB．点F在OC上，且OF＝13OC，点G在OA上，且使△GEC的面积为16，试求α的值.xyEBGFOCAγβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FEDABC(第13题图)DEABC4321(第12题图)DBACGFEPABCD6BACDEF7．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM.MQPABCD第二讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（）A．5对B．4对C．3对D．2对【变式题组】1．（武汉2011）下列判断中错误的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等7AFCEDB2．（黄冈）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求证：AF＝DE.【变式题组】1．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（）A．2B．3C．4D．52.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.\AE第1题图ABCDEBCDO第2题图ABCDOFEACEFBD83．（孝感2013）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【变式题组】1．（绍兴2013）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°2．