有理函数的积分

第四节有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例•基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法•初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分多项式函数:)(xPnnnnaxaxa110有理函数:)()()(xQxPxRmnnnnaxaxa110mn时,为假分式;mn时,为真分式有理函数相除多项式+真分式例如：根据代数学的一个重要结论——有理函数多项式+真分式任一有理真分式在在实数域内，均可唯一分解成下面四种部分分式之和：分解;axA;)(naxA;2qxpxNxM;)(2nqxpxNxM,N(n)042qp如果四种部分分式的积分可以解决，有理函数积分就解决了.如何将真分式分解为部分分式之和？)()()(xQxPxRmn第一步：:)(在实数范围内标准分解对分母xQm)...()()...()()(220srxxqpxxbxaxbxQm).04,...,04(22srqp其中第二步：构，根据分母因式分解的结)(：的部分分式的待定形式写出xR),()1(ax一次单因式;)(axA对应一项,)()2(kaxk重因式一次:项对应kkaxA)(112)(kaxAaxAk)...()()...()()(220srxxqpxxbxaxbxQ).04,...,04(22srqp其中对应一项二次单因式),()3(2qpxx;2qpxxNMx项对应重因式二次kqpxxkk,)()4(2kqpxxNxM)(2111222)(kqpxxNxMqpxxNxMkk2第三步：待定系数的确定：（1）解线性方程组法；（2）特殊值法；四种典型部分分式的积分：xaxAd.1axA)d(axCaxAln)1(nxaxAnd)(.2naxA)()d(axnA1Caxn1)(xqxpxNxMd.32xqxpxd2)2(pxM21Mp21NM21xqxpxpxd2222NMpxqxpxd12M21qxpx2ln22NMpdx22)(px24)(2pqxqxpxNxMnd)(.42xqxpxnd)(2)2(pxM21Mp21NM21xqxpxpxnd)(2222NMpnqxpxx)(d212)(1)1(2nqpxxnM22NMpnppqxx])()[(d24222例1.将下列真分式分解为部分分式:解:（一、用拼凑法）22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx并将A、B值代入(1)例1.将下列真分式分解为部分分式:解:（二、特殊值法）2)1(1xxxA2)1(xB,1xC12)1(xABx)1()1(xCx代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2x1C111（三、解线性方程组法）6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB3x)3(xA),2(xBBA563xxBA)(BA23,1BA,323BA6532xxx25x.36x(3))1)(21(12xxxA2121xCBx1)1(2xA),21)((xCBx整理得12x)2(BAx)2(CB,CA,02BA,02CB,1CA,54A52B51C原式=x215421x5152xx214512112xx例2.求解:根据上题的结果原式51x214212xx211xxdx21)21d(x5221x)1d(2x51xxd1151252（课本P214例4）x21ln51)1(ln2x51Cxarctan例3.求解:原式xxxd322)22(x213xxxxd3222212（课本P213例2）32d32xxx32212xx)32d(2xx32)1(x2)2()1d(x)32ln(212xx23arctan21xC例4.求解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.Ixxxd4524xx523xxxd4524522x4524xx)45d(24xx21xd)4)(1(22xx)4()1(22xx)45ln(2124xx2arctan21xCxarctan例5.求解:.d11242xxxx,2x分子分母同除以原式xd211x2211xxxd211xxxd112xx1d21xx11112xxxx1dCxx1arctan练习:求.d11,d1314242xxxxxx说明：通常所说的“求不定积分”，是指怎样用初等函数把这个不定积分（或原函数）表示出来，在这种意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的.如,d2xex,dsin122xxk,lndxx,dsinxxx,d)sin(2xx41dxx换句话说,这些不定积分的结果已不再是初等函数,数学上讲，“初等函数集合对不定积分运算不封闭”.二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令,tan2xt1.三角函数有理式的积分则)(xtxarctan2xdttd122xsin212ttxcos2211tt万能代换t的有理函数的积分.d1211,122222ttttttR例6.求.d)cos1(sinsin1xxxx解:令,2tanxt则xsin（课本P216例5）,122ttxcos2211ttxdttd122原式212tt)1(2211tt2121ttttd212tttd122121221tt2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln212.简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:,d),,(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp例7.求.21d3xx解:令,23xt则原式t123ttdtttd11)1(32tttd)111(33221ttt1lnC例8.求.d11xxxx解:令,1xxt则原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttC内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,作业P2183,6,8,9,13,15,17,18,21,23