2.3.2-两个变量的线性相关

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？散点图：两个变量的散点图中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系为正相关。人体脂肪含量百分比与年龄散点图010203040010203040506070年龄脂肪含量思考：1、两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，而另一个变量值由大变小，我们称这种相关关系为负相关。2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗？0204060801001200204060801003、若两个变量散点图呈下图，它们之间是否具有相关关系？人体脂肪含量百分比与年龄散点图02040020406080年龄脂肪含量散点图回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。这条回归直线的方程，简称为回归方程。方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。脂肪010203040020406080脂肪如何具体的求出回归方程？方案二、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。脂肪010203040020406080脂肪我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？方案三、在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。脂肪010203040020406080脂肪我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小”。计算回归方程的斜率和截距的一般公式：xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)())((1221121其中，b是回归方程的斜率，a是截距。最小二乘法的公式的探索过程如下：设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是待定的系数。当变量x取x1，x2，…，xn时，可以得到Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）它与实际收集得到的yi之间偏差是yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yi-Yiyx这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。Σ（yi-Yi）的最小值ni=1Σ|yi-Yi|的最小值ni=1Σ（yi-Yi）2的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小Σ（xi-x）（yi-y）ni=1b=Σ（xi-x）ni=1a=y-bx¯¯¯¯¯问题归结为:a,b取什么值时Q最小,即总体和最小.Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2先对a配方再对b配方我们可以用计算机来求回归方程。回归方程y=0.5765x-0.4478010203040020406080人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此回归直线来反映。将年龄作为x代入上述回归方程，看看得出数值与真实值之间有何关系？年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回归值12.815.122.023.225.527.828.4年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回归值30.130.731.832.433.034.134.7若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在37.1％（0.577×65-0.448=37.1％）附近的可能性比较大。但不能说他体内脂肪含量一定是37.1％。回归方程y=0.5765x-0.4478010203040020406080例、假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：使用年限x（年）23456维修费用y（万元）2.23.85.56.57.0若资料知y，x呈线性相关关系，试求：（1）线性回归方程Y=bx+a的回归系数a、b；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？12345合计xi2345620yi2.23.85.56.5725xiyi4.411.42232.542112.3xi^24916253690x=4;y=5;x1^2+x2^2+…+x5^2=90;x1y1+x2y2+…+x5y5=112.3i¯¯解：（1）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*4^2）=1.23,a=5-1.23*4=0.08（2）回归方程为Y=1.23x+0.08，当x=10时，Y=12.38（万元），即估计使用10年时维护费用是12.38万元。小结1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数,xy1niiixy21niix第二步，求和,1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx第三步，计算ybxaÙ=+第四步，写出回归方程2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.例1：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度热饮杯数-515601504132712812130151161910423892793317636541、画出散点图；2、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；3、求回归方程；4、如果某天的气温是2摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。图3-1050100150200-2002040热饮杯数1、散点图2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式1求出回归方程的系数。Y=-2.352x+147.7674、当x=2时，Y=143.063因此，某天的气温为2摄氏度时，这天大约可以卖出143杯热饮。