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1高一数学同步练习必修4第一章三角函数的图象及性质一、三角函数的图象与性质B.方法与要点1、两条性质(1)周期性函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx,而偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.2、三种方法求三角函数值域(最值)的方法:(1)利用sinx、cosx的有界性;(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.C.双基自测1.函数y=cosx+π3,x∈R().A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数2.函数y=tanπ4-x的定义域为().A.xx≠kπ-π4,k∈ZB.xx≠2kπ-π4,k∈ZC.xx≠kπ+π4,k∈ZD.xx≠2kπ+π4,k∈Z4.y=sinx-π4的图象的一个对称中心是().A.(-π,0)B.-3π4,0C.3π2,0D.π2,05.函数f(x)=cos2x+π6的最小正周期为________.D.考点解析考点一三角函数的定义域与值域【例1-1】►(1)求函数y=lgsin2x的定义域.(2)求函数y=cos2x+sinx|x|≤π4的最大值与最小值.2【训练1】(1)求函数y=sinx-cosx的定义域.【训练2】1、定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数,若)(xf的最小正周期是,且当]2,0[x时,xxfsin)(,则)35(f的值为A.21B.21C.23D.232、函数2sinxy的最小正周期是A2BC2D43、函数xxycos的部分图象是4、给定性质:①最小正周期为,②图象关于直线3x对称,则下列四个函数中,同时具有性质①②的是()A.)62sin(xyB.)62sin(xyC.||sinxyD.)62sin(xy考点三三角函数的单调性xxxxOOOOyyyyABCD3【例3-1】►已知)2sin(2)(xxf,,0x求)(xf的单调递增区间.源:【训练3】1、sin3yx的单调减区间是()A.5,66kkkB.52,266kkkC.7,66kkkD.72,266kkk2、(2011年全国新课标卷)设函数)2,0)4sin(2)((+xxf的最小正周期为,且)()(xfxf,则A.)(xf在2,0单调递减B.)(xf在43,4单调递减C.)(xf在2,0单调递增D.)(xf在43,4单调递增考点四三角函数的对称性【例4-1】►(1)函数y=cos2x+π3图象的对称轴方程可能是().A.x=-π6B.x=-π12C.x=π6D.x=π12(2)若0<α<π2,g(x)=sin2x+π4+α是偶函数,则α的值为________.(3)(全国卷Ⅰ文)如果函数3cos(2)yx的图像关于点4(,0)3中心对称,那么的最小值为(A)6(B)4(C)3(D)24(1)函数y=2sin(3x+φ)||φ<π2的一条对称轴为x=π12,则φ=________.(2)如果函数cos2yx=3+的图像关于点43,0中心对称,那么的最小值为(A)6(B)4(C)3(D)2(3))22,0,0)(sin()(AxAxf的图象关于x=32对称,它的周期是,则()A、f(x)的图象过点(0,)21B、f(x)在区间]132,125[上是减函数C、f(x)的图象的一个对称中心是点()0,125D、f(x)的最大值是A(4)已知()sin()(0),()()363fxxff,且()fx在区间(,)63有最小值,无最大值,则__________.二、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用A.基础梳理1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示x0-φωπ2-φωπ-φω3π2-φω2π-φωωx+φ0π2π3π22πy=Asin(ωx+φ)0A0-A02.函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤53.当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A叫做振幅,T=2πω叫做周期,f=1T叫做频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.4.图象的对称性函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下:(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+π2,k∈Z)成轴对称图形.(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.B.方法与要点1、一种方法在由图象求三角函数解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=M-m2,k=M+m2,ω由周期T确定,即由2πω=T求出,φ由特殊点确定.2、一个区别由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.3、两个注意作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意:(1)首先要确定函数的定义域;(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时先作一个周期的图象,再由周期性作整个函数的图象.C.双基自测1.y=2sin2x-π4的振幅、频率和初相分别为().A.2,1π,-π4B.2,12π,-π4C.2,1π,-π8D.2,12π,-π82.已知简谐运动f(x)=Asin(ωx+φ)|φ|<π2的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为().A.T=6π,φ=π6B.T=6π,φ=π3C.T=6,φ=π6D.T=6,φ=π33.函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移π2个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式应为().A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx4.设ω>0,函数y=sinωx+π3+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,则ω的最小值是().A.23B.43C.32D.36D.考点解析考点一函数)sin(xAy的图象题型1:给出函数作图象【例1-1】►设函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<0的最小正周期为π,且fπ4=32.(1)求ω和φ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.[审题视点](1)由已知条件可求ω,φ;(2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π].(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ωx+φω来确定平移单位.【训练1-1】已知函数f(x)=3sin12x-π4,x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;(2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?题型2:给出图象求函数【例1-2】►(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2,ω>0)的图象的一部分如图所示.(1)求f(x)的表达式;(2)试写出f(x)的对称轴方程.7(2)(07年江西卷)如图,函数π2cos()(0)2yxxR,≤≤的图象与y轴相交于点(03),,且该函数的最小正周期为.(1)求和的值;给出图象求函数一般有两种方法,方法1:待定系数法,即找出图象上两个已知点的坐标,代入函数式中联解方程组求出、的值;方法2:先由函数图象上的三个平衡点及两个极值点求出函数的周期(三个平衡点和两个极值点把函数的一个周期分为四等分,所以只要知道这五个点其中的两个就可以求出周期T)再由2T求出;再找出图象其中一个周期中的起始点的坐标0x(注意,这里的0x不一定是)然后用)(0xx代入函数xy中得)(sin0xxy整理即得。(特别注意:是)(sin0xxy而不是)sin(0xxy)。至于振幅A的值则有图象上的最高点或最低点的纵坐标而求得。(如果最高点和最低点的纵坐标不关于x轴对称,则函数式应是kxAy)sin(的形式)【训练1-2】1、(四川卷)下列函数中,图象的一部分如右图所示的是(A)sin6yx(B)sin26yx(C)cos43yx(D)cos26yx2、(天津卷文)函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示,则函数表达式为(A))48sin(4xy(B))48sin(4xy(C))48sin(4xy(D))48sin(4xy3、(宁夏海南卷理)已知函数y=sin(x+)(0,-)的图像如图所示,则=________________.y1o-1243x84、(辽宁卷理)已知函数()fx=Acos(x)的图象如图所示,2()23f,则(0)f=(A)23(B)23(C)-12(D)1221世纪教育网考点二函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换题型1:给定原函数)(xf和变换过程求变换后的函数【例2-1】►(1)(2009全国卷Ⅱ理)若将函数tan04yx的图像向右平移6个单位长度后,与函数tan6yx的图像重合,则的最小值为A.16B.14C.13D.12【例2-1】►(2)函数y=cosx的图象向左平移3个单位,横坐标缩小到原来的12,纵坐标扩大到原来的3倍,所得的函数图象解析式为()(A)y=3cos(12x+3)(B)y=3cos(2x+3)(C)y=3cos(2x+23)(D)y=13cos(12x+6)(3)若改为:“把函数y=cosx的图象先横坐标缩小到原来的12,再向左平移3个单位”其他不变呢?给定原函数)(xf和变换过程求变换后的函数时,①左右平移变换:用bx替换x,得)(bxf,其中,左移用“+”,右移用“-”;②横坐标伸缩变换:用xa替换x,得)(xaf;③纵坐标伸缩变换(即振幅变换):)()(xAfxf;9④注意先后顺序:若先平移再左右伸缩,则)()(bxfxfb左右平移a左右伸缩)1(bxaf;若先左右伸缩再平移,则baxafxf左右平移左右伸缩)1()()](1[bxaf⑤振幅变换无需考虑顺序(但须看其最大值与最小值是否关于x轴对称)【训练2-1】(1)(2012年高考浙江卷理科4)把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是(2)先将函数y=f(x)的图象向右移6个单位,再将所得的图象作关于直线x=4的对称变换,得到)32sin(xy的函数图象,则f(x)的解析
本文标题:高一数学同步练习(必修4第一章三角函数的图象及性质)1234
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