n阶行列式的计算方法与技巧

毕业论文n阶行列式的计算方法与技巧学生姓名：孙辉学号：092086120系部：理学系专业：信息与计算科学指导教师：高玉洁二零一四年六月诚信声明本人郑重声明：本论文及其研究工作是本人在指导教师的指导下独立完成的，在完成论文时所利用的一切资料均已在参考文献中列出.本人签名：年月日毕业设计（论文）任务书设计（论文）题目：n阶行列式的计算方法与技巧系部：理学系专业：信息与计算科学学号：102086116学生：孙辉指导教师（含职称）：高玉洁（讲师）1．课题意义及目标通过论文的写作，巩固相关的基础知识，提高检索、查阅资料的能力.培养严谨务实的科学态度及独立开展科研工作的能力，为以后的学习和工作打下良好的基础.收集n阶行列式的相关文献，通过典型例子对n阶行列式的一些常规计算技巧和方法进行分析、归纳，总结出具有显著特点的n阶行列式的最佳计算方法.2．主要任务（1）学习行列式的定义、性质及常用的计算方法并查阅相关文献；（2）通过典型例子阐述定义法、降阶法；（3）通过典型例子阐述升阶法、递推法、拆开法；（4）通过典型例子阐述归纳法、利用范德蒙德行列式法.3．主要参考资料［1］张卿，孙兰敏.计算n阶行列式的方法［J］.开封大学学报，1998(02)：34-38.［2］杨立英，李成群.n阶行列式的计算方法与技巧［J］.广西师范学院学报(自然科学版)，2006(01)：98-105.［3］王萼芳，石生明.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.4．进度安排设计（论文）各阶段名称起止日期1学习行列式的相关知识并收集、查阅资料2014-1-10至2014-2-252举例说明定义法、降阶法2014-2-26至2014-3-203举例说明升阶法、递推法、拆开法2014-3-25至2014-4-204举例说明归纳法、利用范德蒙德行列式法2014-4-25至2014-5-205按照学院的格式要求完成毕业论文及答辩2014-5-25至2014-6-22审核人：年月日n阶行列式的计算方法与技巧摘要：本文通过实例总结了n阶行列式的几种常用的计算方法：定义法、三角形法、升（降）阶法、拆开法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法，并总结出具有典型特点的n阶行列式的较合理的计算方法.关键词：n阶行列式，方法，技巧MethodandtechniqueofnorderdeterminantcalculationAbstract：Examplesthispapersumsupthedeterminantofthecalculationmethodofseveralkindsofcommonlyusedmethods:definitionmethod,thetrianglemethod,rise(drop)method,theopenmethod,recursivemethod,induction,theuseofvandermondedeterminantmethod,andsummarizesthetypicalcharacteristicsoforderdeterminantcalculationmethodismorereasonable.Keywords：Norderdeterminant，thedeterminantnature，methods，skills太原工业学院毕业论文第I页共I页目录1前言..................................................................11.1选题背景与意义..................................................11.2国内外研究现状..................................................11.3研究目的........................................................22行列式的定义与性质....................................................32.1行列式的定义.....................................................32.2行列式的性质.....................................................33n阶行列式的计算方法..................................................32.2行列式的性质：..................................................33.2三角形法........................................................63.3升(降)阶法......................................................73.3.1升阶法....................................................73.3.2降阶法....................................................93.4递推法........................................................103.5拆开法........................................................123.6归纳法........................................................133.7利用范德蒙德行列式法..........................................134结论................................................................15参考文献...............................................................16致谢................................................................17太原工业学院毕业论文11前言1.1选题背景与意义行列式是高等代数的一个重要内容，在数学理论上有十分重要的地位，早在17世纪末和18世纪初，行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙德（1735～1796）首先把行列式作为专门理论,独立于线性方程之外进行研究.到了19世纪，是行列式理论形成和发展的重要时期.奥古斯丁·路易·柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中.柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟·凯莱在1841年率先使用的）.十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善，被应用于各种领域中.如高斯在二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划为标准型的判别依据，卡尔·魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了-矩阵的行列式以及初等因子.行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代.1832年至1833年间卡尔·雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·查尔·卡塔兰（EugeneCharlesCatalan）发现了所谓的雅可比行列式.1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系.19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此，到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.而今随着科学的发展，行列式被应用于如电子工程、控制论、数学物理方程及数学研究等更多领域.在应用行列式解决一些实际问题的过程中，行列式的计算必不可少，而n阶行列式因为阶数较高、构造复杂，加大了计算难度.目前n阶行列式的计算方法非常多，每一种方法都有他们各自的极其独特之处，然而在实际的计算过程中不同的方法往往适合于不同特征的n阶行列式，因此总结不同特点的n阶行列式的较适用的方法显得非常重要.1.2国内外研究现状行列式的计算一直是代数研究的一个重要课题，国内外学者专家已经总结了很多常用的技巧及方法，研究成果颇为丰硕.代东岩、王萼芳、黄海英、王丽霞等学者对行列式的一些计算方法做出的归纳，其中有几种是目前较常用的方法，主要有定义法太原工业学院毕业论文2三角化法、升（降）阶法、递推法、、数学归纳法等，而几种尚未被广泛使用的方法主要有超范德蒙行列式法、微积分法、软件法、按拉普拉斯定理展开等.这些行列式的计算方法常常被用来求解线性方程组、求解几何图形方程、求逆矩阵证明微分中值定理、证明等式和不等式、证明Lagrange中值定理、证明柯栖中值定理，还被用于向量积、混合积、多项式理论中.1.3研究目的通过典型例题介绍n阶行列式的一些最常用的计算方法：定义法、三角形法，升（降）阶法、拆开法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法，并在n阶行列式的计算过程中，归纳总结出具有不同特点的n阶行列式的较适用的计算方法.太原工业学院毕业论文32行列式的定义与性质2.1行列式的定义说到行列式，大家并不陌生，简单来说njjjjjjjjjnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDnn...)1(.....................21)...(...2122221112112121其中12(...)njjj为排列12...njjj的逆序数.2.2行列式的性质：性质1（对称性）行列式的专职行列式与原行列式相等.从这个性质可以知道如果行列式对行而言具有的性质，则对列而言也具有相同的性质.反过来也是如此，因此下面的几个性质只对列来叙述.性质2（多重线性）行列式的多重线性是指下面两条（1）nkk......1=nknk............11（2）nknkaa............11性质3（交错性）对换行列的任意两列所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反.性质4如果行列式的一列是另一列的a倍，则行列式为零.特别是，如果行列式有一列为零，或者有不同的两列相同，则行列式为零.性质5（初等变换性质）通常说的初等变换有三种：一列乘以非零数；对换不同的两列；这两种前面都提到了，下面一种是：一列乘以非零数加到另一列.niknikka..................11性质6用一个数来乘行列式的某一行（即用此数乘这一行的每个元素）就等于用这个数乘此行列式[6].即：太原工业学院毕业论文4nnnnpnppnnnnnpnppnaaaaaaaaakaaakakakaaaa...................................................................212111211212111211对于n阶行列式的计算，阶数不定，我们需要找到一些适合其本身的计算方法，不仅会提高我们的解题效率，还会增加我们解题的正确率.例1求nn...0001..................0...40010...03010...0021...4321的值.解：方法一：第二列21，第三列31，依次，然后加到第一列，得：nnnDn...0000..................0...40000...03000...0020...432)2()2(!nn方法二：将第一列第n行展开得：111234...111...1200...0100...0(1)(1)!030...0010...0..............................000...000...0nnnDnn1(1)!(1)