2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第7章 立体几何―平行关系

学案4空间中的平行关系返回目录一、直线与平面平行的判定和性质1.判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.可以用符号表示为.2.性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.可以用符号表示为.aα,bα，且a∥ba∥αa∥α,aβ,α∩β=ba∥b⇒⇒返回目录二、平面与平面平行的判定和性质1.判定定理（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.可以用符号表示为.（2）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么，这两个平面平行.可以用符号表示为.aα,bα,a∩b=P,a∥β,b∥βα∥β⇒cβ,dβ,a∥c,b∥d,aα,bα,aa∩b=P,c∩d=D⇒α∥β}2.性质定理（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（2）两个平面平行，其中任一个平面内的直线必平行于另一个平面.返回目录返回目录考点一直线与平面平行如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.【分析】用线面平行的判定定理来证,或用面面平行的性质定理来证.【证明】证法一：分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN.又B1E=C1F，∴EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形,∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中，∴EF∥平面ABCD.返回目录返回目录证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，则,∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴,∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG=G，AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.BBGBABEB1111=BBGBBCFC1111=【评析】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（aα,bα,a∥ba∥α）;③利用面面平行的性质定理（α∥β,aαa∥β）;④利用面面平行的性质（α∥β,a/α,a/β,a∥αa∥β）.返回目录＊对应演练＊已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ.求证:PQ∥平面CBE.返回目录证明：证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,则PM∥QN.∴.∵AP=DQ,∴EP=BQ.又AB=CD,EA=BD,∴PM=QN.又PM∥QN,∴四边形PMNQ是平行四边形,∴PQ∥MN.∵PQ平面CBE,MN平面CBE,∴PQ∥平面CBE.返回目录BDBQCDQN,EAEPABPM==返回目录证法二:如图所示,延长AQ交BC或其延长线于G,连EG.∵AD∥CB,∴.又AP=DQ,AE=DB,∴,∴PQ∥GE.又PQ平面CBE,CE平面CBE,∴PQ∥平面CBE.QBDQQGAQ=PEAPQGAQ=返回目录求证:若两个相交平面都平行于一条直线,则它们的交线也平行于这条直线.考点二直线与平面平行的性质【分析】利用线面平行的性质定理可证线线平行.【解析】已知:α∩β=b,α∥a,β∥a,求证:a∥b.证明:证法一:如图,过a作平面γ∩α=c,由a∥α得a∥c.同理过a作平面δ∩β=d,则a∥d,于是c∥d.又cβ,dβ,所以c∥β.又α∩β=b,cα,所以c∥b.又a∥c,所以a∥b.返回目录证法二:如图,在b上任取一点A,过A和a作平面和α相交于l1,和β相交于l2,因为a∥α,所以a∥l1.因为a∥β,所以a∥l2.但过一点只能作一条直线与另一条直线平行,所以l1与l2重合.又因为l1α,l2β,所以l1和l1重合于b,所以a∥b.返回目录返回目录【评析】应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,有时为了得到交线还需作出辅助平面.证法二中用到了结论“过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行”.返回目录＊对应演练＊如图,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时，其截面面积最大.∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG,EH,∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH,同理可证EF∥GH,∴截面EFGH是平行四边形.设AB=a,CD=b,∠FGH=α.又设FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得,两式相加得,即y=(a-x),∴S=FG·GH·sinα=x·(a-x)·sinα=·x(a-x).∵x0,a-x0且x+(a-x)=a,∴当且仅当x=a-x即x=时,·x(a-x)=.即当截面EFGH的顶点E,F,G,H为棱AD,AC,BC,BD的中点时,截面面积最大.返回目录BCBGby,BCCGax==1byax=+abEFGHabααbsin2aααbsin4bsinαα如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a.（1）求证：平面AB1D1平面C1BD；（2）求平面AB1D1和平面C1BD间的距离.【分析】要证面面平行，先找线线平行，从而得到线面平行.求平面间的距离的关键是找（或作）出两平面的公垂线.考点三平面与平面平行的判定返回目录返回目录【解析】（1）∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B1D1∥BD.又BD平面C1BD，∴B1D1∥平面C1BD.同理D1A∥平面C1BD.∵B1D1和D1A是平面AB1D1内的两条相交直线，因此，平面AB1D1∥平面C1BD.（2）连接A1C，设M,N分别是A1C和平面AB1D1，平面C1BD的交点.A1C在平面ABCD内的射影AC⊥BD，∴A1C⊥BD.同理A1C⊥BC1.∴A1C⊥平面C1BD.于是A1C⊥平面AB1D1.因此MN的长即是两平行平面AB1D1和C1BD间的距离.在平面A1ACC1中，∵AA1=CC1=a，AC=A1C1=a，∴A1C=a.设平面AB1D1和平面A1ACC1交于AP（P为B1D1的中点），则M∈AP,又平面C1BD和平面A1ACC1交于C1Q（Q为BD的中点），N∈C1Q，且AP∥C1Q.由平面几何知识,知M,N为A1C的两个三等分点，∴MN=a.返回目录2333返回目录【评析】（1）证明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论，通过线面平行来完成证明；③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助于“传递性”来完成；⑤还可以用向量法来证明直线和平面平行.（2）面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用.（3）证面面平行时，应防止出现直接由一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线得到，因为没有这样的定理和直接作为命题的说明.此题求两平面的距离时，将空间距离转化为平面AA1C1C内两条平行直线的距离的方法，用到了降维的思想，值得借鉴.返回目录＊对应演练＊如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.＝证明:(1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE∥DC,又D1G∥DC,∴OE∥D1G,∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.＝返回目录21＝21（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1，HD1平面HB1D1，BF，BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B.∴平面BDF∥平面B1D1H.返回目录返回目录如图，已知α∥β，异面直线AB,CD和平面α,β分别交于A,B,C,D四点，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证：（1）E,F,G,H共面;（2）平面EFGH∥平面α.考点四平面与平面平行的性质【分析】要证明四点共面，结合已知条件可以转而证明其中一对直线平行；要证明面面平行，容易想到利用面面平行的判定定理来考虑，利用已知的面面平行条件，从而将问题解决.返回目录【证明】（1）∵E,H分别是AB,DA的中点，∴EH∥BD且EH=BD.同理，FG∥BD且FG=BD，∴FG∥EH且FG=EH.∴四边形EFGH是平行四边形，即E,F,G,H共面.2121返回目录(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′.∵α∥β，∴AD′∥BD.又∵BD∥EH,∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α，EH∥平面β.同理，EF∥平面α，EF∥平面β.∴平面EFGH∥平面α∥平面β.返回目录【评析】对于已知条件中出现了有关的面面平行的问题，往往就要紧紧围绕着面面平行的性质，从而得到线线（或线面）平行，从而将问题解决.＊对应演练＊如图所示，平面α∥平面β，A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上，且有.(1)求证：EF∥β;(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.FDCFEBAE=返回目录证明:①当AB,CD在同一平面内时,由α∥β,α∩平面ABDC=AC,β∩平面ABDC=BD,知AC∥BD,∵AE：EB=CF：FD,∴EF∥BD.又EFβ,BDβ,∴EF∥β.返回目录②当AB与CD异面时,设平面ACD∩β=DH,且DH=AC.∵α∥β,α∩平面ACDH=AC,∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形,在AH上取一点G,使AG：GH=CF：FD,又∵AE：EB=CF：FD,∴GF∥HD,EG∥BH,又EG∩GF=G,∴平面EFG∥平面β.∵EF平面EFG,∴EF∥β.综上，EF∥β.返回目录(2)如图,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.∵E,F分别为AB,CD的中点,∴ME∥BD,MF∥AC,且ME=BD=3,MF=AC=2.∴∠EMF为AC与BD所成的角(或其补角),∴∠EMF=60°或120°.∴在△EFM中,由余弦定理得即EF=或=.返回目录21216132123223EMF2ME·MF·cos-MFMEEF2222±=×××±+=+=∠719返回目录1.若直线与平面平行,则平面内有无数条直线与该直线平行,但不能得出这条直线平行于这个平面内的所有直线,而只能得到这条直线与这个平面内的任一直线都没有公共点;但反过来,如果知道一条直线与某个平面内的无数条直线平行,却不能得到该直线与该平面平行,因为此时这条直线可能处于这个平面内.同样,对于两个平行平面而言,其中任一平面内的任一条直线必平行于另一个平面,但这两个平面内的所有直线不一定平行,它们可能平行,也可能异面,但一定不会相交,否则这两个平面就有公共点了.2.证明线面平行时,证明了直线与平面内一条直线平行的同时,必须指出直线不在平面内.3.证明面面平行时,若用一个平面内两条直线平行于另一平面,必须指出两条直线是相交的.4.在证明平行关系时,要注意此类问题的通性通法、相关题型及常用解题思路方法，在作辅助线或辅助面时，要有理有据，不能随意作，辅助线、辅助面具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断.返回目录5.本学案应注重线线平行、线面平行、面面平行的相互转换.返回目录