第10章动能定理及其应用习题解

-1-CvABCrv1v1v1(a)CCCvO(a)第10章动能定理及其应用10－1计算图示各系统的动能：1．质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，=45º（图a）。2．图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。3．质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为（图c）。解：1．222222163)2(2121)2(212121BBBCCCmvrvmrvmJmvT2．222122222214321)(21212121vmvmrvrmvmvmT3．22222222)2(212121mRRmmRmRT10－2图示滑块A重力为1W，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为2W、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为1v，杆AB的角速度为1。当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统的动能。解：图（a）BATTT)2121(21222211CCJvgWvgW21221121212211122]cos22)2[(22lgWllvlvlgWvgW]cos31)[(2111221222121vlWlWvWWg10－3重力为PF、半径为r的齿轮II与半径为rR3的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为QF，角速度为，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。解：COCTTT2222)21(212121CCCCOCOrmvmJ22P2P22Q)2(41)2(21])2(31[21rrrgFrgFrgF)92(3PQ22FFgr习题10－2图习题10－3图ABvBvAC(a)vOA习题10－1图(b)(c)A-2-10－4图示一重物A质量为m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，其对O轴的回转半径为ρ。试求重物A的加速度。解：将滚子C、滑轮D、物块A所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理想约束，由动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。设系统在物块下降任意距离s时的动能动能：22221212121CCCAJvmvmT其中rRvAC，rRrvrvACC，22mJC22222122222221])([21])(1)([21AAvrRrmmvrRmrRrmmT力作的功：gsmW1应用动能定理：gsmvrRrmmA1222221])([21将上式对时间求导数：sgmavrRrmmAA122221])([求得物块的加速度为：)()()(2222121rmrRmrRgmaA10－5图示机构中，均质杆AB长为l，质量为2m，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当θ=0˚时，弹簧为原长。若机构在θ=60˚时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。动能：222212121ABOBAJmvmvT其中：ABAlvsin；ABBlvcos；2231mlJO222222653121ABABABmlmlmlT外力的功：])cos()60cos[(2)sin60(sin22)sin60(sin22llllklmgmglWT=W；2265ABml])cos1(41[2)sin23(222lkmgl（1）当0时：832klmglW2265ABml832klmgl；mlklmgmkglAB203324203536对式（1）求导：ABABml235sin)cos1(22cos22lkmgl；其中：AB；当0时：lgAB56CBODRrA习题10－4图θABk习题10－5图O-3-习题10－6图10－6图a与图b分别为圆盘与圆环，二者质量均为m，半径均为r，均置于距地面为h的斜面上，斜面倾角为，盘与环都从时间0t开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？解：对图（a）应用动能定理：sin4321mgsmvC；求导后有sin321gaC设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d，则21121tadC；sin3211gdadtC对图（b）应用动能定理：sin22mgsmvC；求导后有sin212gaC22221tadC；sin4222gdadtC因为t1t2，所以圆盘（a）先到达地面。10－7两匀质杆AC和BC质量均为m，长度均为l，在C点由光滑铰链相连接，A、B端放置在光滑水平面上，如图所示。杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求铰链C落到地面时的速度。解：设铰链C刚与地面相碰时速度Cvv。根据运动学分析A点及B点分别为CA及CB杆的速度瞬心，如图（a）lvlvCCAlvlvCCB动能定理：0231212222mlhmg231mvmghghv310－8质量为15kg的细杆可绕轴转动，杆端A连接刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧另一端固结于B点，弹簧原长1.5m。试求杆从水平位置以初角速度0=0.1rad/s落到图示位置时的角速度。解：2021)31(21mlT，222)31(21mlT])5.112()5.12[(2232212kmgW)733(23kmg1212WTT习题10－7图习题10－8图ACACCBBCv(a)-4-OBAr习题10－9图ACORrB习题10－10图ko60AOOBAgmgmm2m2(a))733(23)(612022kmgml202)733(633mlkmg93.1215)733(5068.915332rad/s10－9在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为m、半径为r，可沿水平面作纯滚动。刚性系数为k的弹簧一端固定于B，另一端与圆盘中心O相连。运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度及圆盘与水平面间的摩擦力。解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量为，则22143mrT；02T；21221kW1212WTT；2243mr221k；rkm23（2）如图（a）：rFJOA；FrJO222323rkmkmr；mk32AFmr21；6kmrFA10－10在图示机构中，鼓轮B质量为m，内、外半径分别为r和R，对转轴O的回转半径为，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连，斜面倾角为，绳的倾斜段与斜面平行。试求：（1）鼓轮的角加速度；（2）斜面的摩擦力及连接物块A的绳子的张力（表示为的函数）。解：（1）应用动能定理：T=W222221212121CCCOOAJMvJmvT其中：OARv；OCrv；OC；2mJO；221MrJC22222)21(21OMrMrmmRT设物块A上升距离sA时：ACmgsMgsWsin对动能定理的表达式求导：ACOOmgvMgvMrRmsin]23)([2222223)(2)sin(2MrRmmRMrgCO（2）如图（a）：FrJC；MrF21如图（b）：mgFmaT；)(TRgmFOFOFAFN（a）mgCFCFFN（a）MgmgFT（b）aA-5-习题10－12图.rOsvg1mBkAdg2m(a)10－11匀质圆盘的质量为1m、半径为r，圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O转动，以起吊重物A，如图所示。若重物A的质量为2m；弹簧刚度系数为k。试求系统的固有频率。解：设弹簧上OB位于铅垂位置时为原长，则动能22122))(21(2121rvrmvmT212)4121(vmm2222222)(2srkdgsmdrskgsmWWT22222122)4121(srkdgsmvmmtdd：vsrkdgmvamm)()21(22212srkdgmamm22212)21(gmsrkdsmm22212)21(122122221)2(mmgmsmmrkds)2(212222nmmrkd21n22mmkrd10－12图示圆盘质量为m、半径为r，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为0k。试求系统作微振动的固有频率。解：设静止时弹簧的原长，则动能20220))(21(2121rvmrmvT2043mv弹力功：222xkW22043kxmvtdd：00223kxvamv02230kxxmv034xmkxmk34n10－13测量机器功率的功率计，由胶带ACDB和一杠杆BOF组成，如图所示。胶带具有铅垂的两段AC和DB，并套住受试验机器和滑轮E的下半部，杠杆则以刀口搁在支点O上，借升高或降低支点Ｏ，可以变更胶带的拉力，同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。在Ｆ处挂一重锤Ｐ，杠杆BF即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m=3kg，Ｌ＝500mm，试求发动机的转速n=240r/min时发动机的功率。解：设发动机的角速度为。则π860240π260π2n（rad/s）习题10－11图习题10－13图-6-AOyFOxFOB1T2TFgm(b)1T2TMExFEyFDCEn(a)又const，发动机作等速转动。滑轮E的角加速度0。滑轮E受力分析如图（a）。由0EM得0)(21RTTMRTTM)(21（1）取杠杆为研究对象，受力如图（b）。由0OM得0)(21RTTmglRTTmgl)(21（2）且11TT，22TT（3）综合（1）、（2）、（3）可得：mglM∴发动机的功率π850.08.93mglMP=0.369(kW)10－14在图示机构中，物体A质量为m1，放在光滑水平面上。均质圆盘C、B质量均为m，半径均为R，物块D质量为m2。不计绳的质量，设绳与滑轮之间无相对滑动，绳的AE段与水平面平行，系统由静止开始释放。试求物体D的加速度以及BC段绳的张力。解：（1）设物块D下降距离s时，速度为vD，则系统动能为：212222212121)(21ABBCCDvmJJvmmT其中：RvDC；RvDB2；DAvv2；221mRJJBC221212)427(21)4221(21DDvmmmvmmmmmT重力的功为：gsmmW)(2；应用动能定理WT并求导：DDavmmm)427(21Dgvmm)(2212287)(2mmmgmmaD（2）如图（a），应用相对速度瞬心的动量矩定理：RFgRmmRaJBCDO2)(2；其中：22223RmmRJO)2143()(2122mmgmmFBC212287)(2mmmgmm)287(2))(23()287)((2122212mmmgmmmmgmmmmm2